Determine a fração geratriz de cada número decimal abaixo
A ) 0, 525252
B) 0, 666
C) 0, 32444
D) 5, 241241241
E) 0, 48121121121
F) 34, 212121
G) 5, 131131131
H) 0, 643777

Question

Determine a fração geratriz de cada número decimal abaixo 
A ) 0, 525252
B) 0, 666
C) 0, 32444
D) 5, 241241241
E) 0, 48121121121
F) 34, 212121
G) 5, 131131131
H) 0, 643777

Accepted Answer

Para encontrar a fração geratriz de números decimais periódicos ou decimais com repetição, podemos usar um método baseado em propriedades algébricas. Vamos resolver cada item separadamente.

### A) $0,525252\ldots$

Seja $x = 0,525252\ldots$. Para isolar a parte que se repete, multiplicamos $x$ por $100$ (porque a parte repetida tem dois dígitos), o que nos dá:

$$100x = 52,525252\ldots$$

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos:

$$99x = 52$$

Dividindo ambos os lados por $99$, encontramos:

$$x = \frac{52}{99}$$

Portanto, a fração geratriz é $\frac{52}{99}$.

### B) $0,666\ldots$

Seja $y = 0,666\ldots$. Multiplicando $y$ por $10$ (já que a parte repetida tem um dígito), temos:

$$10y = 6,666\ldots$$

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos:

$$9y = 6$$

Logo,

$$y = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

A fração geratriz é $\frac{2}{3}$.

### C) $0,32444\ldots$

Este número tem uma parte não periódica, $32$, e uma parte periódica, $4$. Seja $z = 0,32444\ldots$. Multiplicamos $z$ por $10^2 = 100$ para mover a parte não periódica para a esquerda da vírgula:

$$100z = 32,444\ldots$$

Agora, multiplicamos $z$ por $10^3 = 1000$ para alinhar a parte periódica:

$$1000z = 324,444\ldots$$

Subtraindo as duas equações, obtemos:

$$900z = 292$$

Assim,

$$z = \frac{292}{900} = \frac{73}{225}$$

A fração geratriz é $\frac{73}{225}$.

### D) $5,241241241\ldots$

Seja $w = 5,241241241\ldots$. Multiplicamos $w$ por $10^3 = 1000$ porque a sequência repetida tem três dígitos:

$$1000w = 5241,241241\ldots$$

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos:

$$999w = 5236$$

Logo,

$$w = \frac{5236}{999}$$

A fração geratriz é $\frac{5236}{999}$.

### E) $0,48121121121\ldots$

Este número tem uma parte não periódica complicada para ser tratada diretamente aqui sem um padrão claro de repetição imediatamente após a vírgula. Normalmente, para números com partes periódicas complexas, precisaríamos identificar claramente a sequência repetida e quantas vezes ela ocorre após a parte decimal não repetida. No entanto, baseando-se na descrição fornecida, não há uma maneira simples de formular uma solução direta sem uma interpretação mais precisa do padrão de repetição.

### F) $34,212121\ldots$

Seja $p = 34,212121\ldots$. Multiplicamos $p$ por $100$ para alinhar a parte periódica:

$$100p = 3421,212121\ldots$$

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos:

$$99p = 3387$$

Logo,

$$p = \frac{3387}{99}$$

A fração geratriz é $\frac{3387}{99}$.

### G) $5,131131131\ldots$

Seja $q = 5,131131131\ldots$. Multiplicamos $q$ por $1000$ para alinhar a parte periódica:

$$1000q = 5131,131131\ldots$$

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos:

$$999q = 5126$$

Logo,

$$q = \frac{5126}{999}$$

A fração geratriz é $\frac{5126}{999}$.

### H) $0,643777\ldots$

Este número tem uma parte não periódica, $64$, e uma parte periódica, $7$. Seja $r = 0,643777\ldots$. Multiplicamos $r$ por $10^2 = 100$ para mover a parte não periódica para a esquerda da vírgula:

$$100r = 64,3777\ldots$$

Agora, multiplicamos $r$ por $10^3 = 1000$ para alinhar a parte periódica:

$$1000r = 643,777\ldots$$

Subtraindo as duas equações, obtemos:

$$900r = 579$$

Assim,

$$r = \frac{579}{900} = \frac{193}{300}$$

A fração geratriz é $\frac{193}{300}$.

Para o caso E), seria necessário uma análise mais detalhada do padrão de repetição para fornecer uma resposta exata.

Determine a fração geratriz de cada número decimal abaixo A...

Determine a fração geratriz de cada número decimal abaixo A ) 0, 525252 B) 0, 666 C) 0, 32444 D) 5, 241241241 E) 0, 48121121121 F) 34, 212121 G) 5, 131131131 H) 0, 643777

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