Determine a medida da altura de um cone equilátero cuja área total é
54𝜋 𝑚²

Question

Determine a medida da altura de um cone equilátero cuja área total é 
54𝜋 𝑚²

Accepted Answer

Para encontrar a altura de um cone equilátero, precisamos primeiro entender que em um cone equilátero, o raio da base $ r $, a altura $ h $ e a geratriz $ g $ formam um triângulo retângulo isósceles. Portanto, temos a relação:

$$ g = \sqrt{r^2 + h^2} $$

Como o cone é equilátero, a geratriz é igual à hipotenusa do triângulo retângulo formado pela altura e pelo raio, ou seja:

$$ g = 2r $$

A área total $ A_t $ de um cone é dada por:

$$ A_t = \pi r^2 + \pi r g $$

Dado que a área total é $ 54\pi \, m^2 $, podemos escrever:

$$ \pi r^2 + \pi r g = 54\pi $$

Dividindo ambos os lados por $\pi$, temos:

$$ r^2 + rg = 54 $$

Substituindo $ g = 2r $ na equação:

$$ r^2 + r(2r) = 54 $$

$$ r^2 + 2r^2 = 54 $$

$$ 3r^2 = 54 $$

$$ r^2 = 18 $$

$$ r = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $$

Agora, para encontrar a altura $ h $, usamos a relação $ g = \sqrt{r^2 + h^2} $ e substituímos $ g = 2r $:

$$ 2r = \sqrt{r^2 + h^2} $$

Elevando ambos os lados ao quadrado:

$$ (2r)^2 = r^2 + h^2 $$

$$ 4r^2 = r^2 + h^2 $$

$$ h^2 = 4r^2 - r^2 $$

$$ h^2 = 3r^2 $$

Substituindo $ r = 3\sqrt{2} $:

$$ h^2 = 3(3\sqrt{2})^2 $$

$$ h^2 = 3 \times 18 $$

$$ h^2 = 54 $$

$$ h = \sqrt{54} $$

$$ h = 3\sqrt{6} $$

Portanto, a altura do cone é $ 3\sqrt{6} $ metros.

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Determine a medida da altura de um cone equilátero cuja área total é 54𝜋 𝑚²

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