Determine a soma de todos os números naturais
que sejam múltiplos de 2 e 3, simultaneamente, e
que estejam compreendidos entre 100 e 700.

Question

Determine a soma de todos os números naturais
que sejam múltiplos de 2 e 3, simultaneamente, e
que estejam compreendidos entre 100 e 700.

Accepted Answer

Para encontrar a soma de todos os números naturais que sejam múltiplos de 2 e 3 simultaneamente, ou seja, múltiplos de 6, e que estejam entre 100 e 700, siga os passos abaixo:

1. **Identifique o primeiro e o último múltiplo de 6 no intervalo:**

- O menor múltiplo de 6 maior que 100 é 102, pois $102 \div 6 = 17$.
   - O maior múltiplo de 6 menor que 700 é 696, pois $696 \div 6 = 116$.

2. **Determine a sequência dos múltiplos de 6:**

A sequência é 102, 108, 114, ..., 696.

3. **Calcule o número de termos na sequência:**

A sequência é uma progressão aritmética onde:
   - O primeiro termo ($a_1$) é 102.
   - A diferença comum ($d$) é 6.
   - O último termo ($a_n$) é 696.

A fórmula para o enésimo termo de uma progressão aritmética é:

$$
   a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
   $$

Substituindo os valores conhecidos:

$$
   696 = 102 + (n-1) \cdot 6
   $$

$$
   696 - 102 = (n-1) \cdot 6
   $$

$$
   594 = (n-1) \cdot 6
   $$

$$
   n-1 = \frac{594}{6} = 99
   $$

$$
   n = 100
   $$

4. **Calcule a soma dos termos da sequência:**

A soma dos termos de uma progressão aritmética é dada por:

$$
   S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
   $$

Substituindo os valores:

$$
   S_{100} = \frac{100}{2} \cdot (102 + 696)
   $$

$$
   S_{100} = 50 \cdot 798
   $$

$$
   S_{100} = 39900
   $$

Portanto, a soma de todos os números naturais que são múltiplos de 2 e 3 simultaneamente, e que estão compreendidos entre 100 e 700, é 39.900.

Determine a soma de todos os números naturais que sejam múl...

Determine a soma de todos os números naturais que sejam múltiplos de 2 e 3, simultaneamente, e que estejam compreendidos entre 100 e 700.

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