Determine as componentes horizontal e vertical da reação no pino A e no cabo BC. Escreva as respostas no espaço abaixo.
N
Natália
13/04/25

Question

Determine as componentes horizontal e vertical da reação no pino A e no cabo BC. Escreva as respostas no espaço abaixo.

Accepted Answer

Vamos resolver o problema aplicando as equações de equilíbrio estático. Para isso, consideraremos as forças atuantes no sistema e suas respectivas componentes.

### Dados fornecidos:
1. Força distribuída: $100 \, \text{N/m}$ ao longo de $4 \, \text{m}$, resultando em uma força total $F_d = 100 \times 4 = 400 \, \text{N}$.
2. Força concentrada: $200 \, \text{N}$ atuando verticalmente para baixo.
3. Ângulo do cabo $BC$: $30^\circ$.

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### Passo 1: Identificar forças e reações
- Reação no pino $A$: $A_x$ (horizontal) e $A_y$ (vertical).
- Tensão no cabo $BC$: $T_{BC}$, com componentes $T_x = T_{BC} \cos(30^\circ)$ e $T_y = T_{BC} \sin(30^\circ)$.

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### Passo 2: Aplicar as equações de equilíbrio
As condições de equilíbrio são:
1. $\Sigma F_x = 0$ (equilíbrio horizontal).
2. $\Sigma F_y = 0$ (equilíbrio vertical).
3. $\Sigma M_A = 0$ (momento em torno de $A$).

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#### **Equilíbrio de momentos em relação a $A$:**
Escolhemos o ponto $A$ para eliminar as incógnitas $A_x$ e $A_y$. Somamos os momentos das forças externas em relação a $A$:

$$
\Sigma M_A = 0
$$

1. Momento da força distribuída ($F_d = 400 \, \text{N}$):
   - Atua a $2 \, \text{m}$ do ponto $A$ (centro da distribuição).
   - Momento: $400 \times 2 = 800 \, \text{N·m}$ (horário).

2. Momento da força concentrada ($200 \, \text{N}$):
   - Atua a $3 \, \text{m}$ do ponto $A$.
   - Momento: $200 \times 3 = 600 \, \text{N·m}$ (horário).

3. Momento da tensão no cabo ($T_{BC}$):
   - Componente vertical ($T_y = T_{BC} \sin(30^\circ)$) gera momento anti-horário.
   - Braço de alavanca: $5 \, \text{m}$.
   - Momento: $-T_{BC} \sin(30^\circ) \times 5$.

Equação de momento:
$$
800 + 600 - T_{BC} \sin(30^\circ) \times 5 = 0
$$

Simplificando:
$$
1400 - 2.5 T_{BC} = 0
$$

$$
T_{BC} = 560 \, \text{N}
$$

---

#### **Equilíbrio em $x$:**
$$
\Sigma F_x = 0
$$

$$
A_x - T_{BC} \cos(30^\circ) = 0
$$

Substituindo $T_{BC} = 560 \, \text{N}$:
$$
A_x = 560 \cos(30^\circ) = 560 \times 0.866 = 485.1 \, \text{N}
$$

---

#### **Equilíbrio em $y$:**
$$
\Sigma F_y = 0
$$

$$
A_y + T_{BC} \sin(30^\circ) - 400 - 200 = 0
$$

Substituindo $T_{BC} = 560 \, \text{N}$:
$$
A_y + (560 \times 0.5) - 600 = 0
$$

$$
A_y + 280 - 600 = 0
$$

$$
A_y = 320 \, \text{N}
$$

---

### Respostas finais:
- **Reações no pino $A$:**
  - $A_x = 485.1 \, \text{N}$ (horizontal).
  - $A_y = 320 \, \text{N}$ (vertical).

- **Tensão no cabo $BC$:**
  - $T_{BC} = 560 \, \text{N}$.