Determine o maior intervalo no qual o PVI dado tem uma única solução.
$$
x(x-4) y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+4 y=2, \quad y(3)=0, \quad y^{\prime}(3)=-1 .
$$

Verifique se $ y_{1}(x)=\cos (2 x) $ e $ y_{2}(x)=\operatorname{sen}(2 x) $ constituem um conjunto fu soluções de $ y^{\prime \prime}+4 y=0 $.
(2,0 pts) Use o Teorema de Abel para encontrar o wronskiano de duas soluçõ

Question

Determine o maior intervalo no qual o PVI dado tem uma única solução.
$$
x(x-4) y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+4 y=2, \quad y(3)=0, \quad y^{\prime}(3)=-1 .
$$

Verifique se $ y_{1}(x)=\cos (2 x) $ e $ y_{2}(x)=\operatorname{sen}(2 x) $ constituem um conjunto fu soluções de $ y^{\prime \prime}+4 y=0 $.
(2,0 pts) Use o Teorema de Abel para encontrar o wronskiano de duas soluçõ

Accepted Answer

Para determinar o maior intervalo no qual o Problema de Valor Inicial (PVI) dado tem uma única solução, precisamos analisar os coeficientes da equação diferencial. A equação diferencial dada é
$$ x(x-4)y'' + 3xy' + 4y = 2. $$
Para que exista uma única solução para o PVI, os coeficientes da equação diferencial devem ser contínuos no intervalo considerado. Os coeficientes são $x(x-4)$ para $y''$, $3x$ para $y'$ e $4$ para $y$. O coeficiente de $y''$, $x(x-4)$, é igual a zero em $x=0$ e $x=4$. Portanto, para evitar pontos onde o coeficiente de $y''$ se torne zero (o que poderia complicar a existência e unicidade da solução), precisamos excluir $x=0$ e $x=4$ dos intervalos possíveis.

Assim, os maiores intervalos nos quais o PVI tem uma única solução são $(-∞, 0)$, $ (0, 4)$ e $ (4, +∞)$. Como o PVI é dado em $x=3$, o intervalo relevante que inclui este ponto é $ (0, 4)$.

Agora, vamos verificar se $y_1(x) = \cos(2x)$ e $y_2(x) = \sin(2x)$ constituem um conjunto fundamental de soluções da equação $y'' + 4y = 0$.

Para $y_1(x) = \cos(2x)$,
$$y_1'' = -4\cos(2x).$$
Substituindo na equação $y'' + 4y = 0$, obtemos
$$-4\cos(2x) + 4\cos(2x) = 0,$$
o que satisfaz a equação diferencial.

Para $y_2(x) = \sin(2x)$,
$$y_2'' = -4\sin(2x).$$
Substituindo na equação $y'' + 4y = 0$, obtemos
$$-4\sin(2x) + 4\sin(2x) = 0,$$
o que também satisfaz a equação diferencial.

Portanto, $y_1(x)$ e $y_2(x)$ são de fato soluções da equação diferencial $y'' + 4y = 0$.

Para usar o Teorema de Abel e encontrar o wronskiano das duas soluções, primeiro calculamos o wronskiano $W(y_1, y_2)$ em um ponto e então aplicamos o teorema.

O Wronskiano $W(y_1, y_2)$ é dado por
$$W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos(2x) & \sin(2x) \ -2\sin(2x) & 2\cos(2x) \end{vmatrix} = 2\cos^2(2x) + 2\sin^2(2x) = 2.$$

O Teorema de Abel afirma que o wronskiano de um conjunto de soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes contínuos não depende de $x$, se a equação é homogênea. Neste caso, como a equação é $y'' + 4y = 0$, uma equação homogênea com coeficientes constantes, o wronskiano calculado é constante em todo o domínio da equação. Portanto, $W(y_1, y_2) = 2$ é constante e válido para todos os valores de $x$, confirmando que $y_1(x)$ e $y_2(x)$ formam um conjunto fundamental de soluções da equação diferencial dada.