Determine o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo formado por 5 ângulos triedros, sete gulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos.

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Question

Determine o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo formado por 5 ângulos triedros, sete gulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos.

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Accepted Answer

Para determinar o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo formado por diferentes tipos de ângulos, podemos utilizar a fórmula de Euler para poliedros convexos:

$$
V - E + F = 2
$$

Onde:
- $ V $ é o número de vértices,
- $ E $ é o número de arestas,
- $ F $ é o número de faces.

Primeiro, vamos entender cada tipo de ângulo mencionado:
- Um ângulo triedro é formado por 3 faces que se encontram em um vértice.
- Um ângulo tetraédrico é formado por 4 faces que se encontram em um vértice.
- Um ângulo pentaédrico é formado por 5 faces que se encontram em um vértice.
- Um ângulo hexaédrico é formado por 6 faces que se encontram em um vértice.

Dados:
- 5 ângulos triedros,
- 7 ângulos tetraédricos,
- 9 ângulos pentaédricos,
- 8 ângulos hexaédricos.

Vamos calcular o número de vértices ($ V $):
$$
V = 5 + 7 + 9 + 8 = 29
$$

Agora, vamos calcular o número de arestas ($ E $). Cada face contribui com uma aresta, mas cada aresta é compartilhada por duas faces. Portanto, precisamos contar as arestas corretamente.

Os ângulos fornecem informações sobre quantas faces se encontram em cada vértice, então vamos calcular o total de incidências de faces nos vértices (que é igual ao número total de arestas vezes 2):

$$
\text{Total de incidências de faces} = 3 \times 5 + 4 \times 7 + 5 \times 9 + 6 \times 8
$$

Calculando:
$$
3 \times 5 = 15
$$
$$
4 \times 7 = 28
$$
$$
5 \times 9 = 45
$$
$$
6 \times 8 = 48
$$

Somando tudo:
$$
15 + 28 + 45 + 48 = 136
$$

Como cada aresta é contada duas vezes (uma em cada extremidade), dividimos por 2 para obter o número de arestas ($ E $):

$$
E = \frac{136}{2} = 68
$$

Finalmente, para encontrar o número de faces ($ F $), usamos a fórmula de Euler:

$$
V - E + F = 2
$$

Substituindo os valores conhecidos:

$$
29 - 68 + F = 2
$$

Resolvendo para $ F $:

$$
F = 2 + 68 - 29
$$
$$
F = 41
$$

Portanto, o poliedro convexo possui:
- **29 vértices**,
- **68 arestas**,
- **41 faces**.

Determine o número de vértices, arestas e faces de um polied...

Determine o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo formado por 5 ângulos triedros, sete gulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos.

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