Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 1 face decagonal, 1 face pentagonal, 15 faces quadrangulares e 5 faces triangulares.

Question

Accepted Answer

Para determinar o número de vértices de um poliedro convexo com as faces especificadas, podemos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos:

$$
V - E + F = 2
$$

onde $ V $ é o número de vértices, $ E $ é o número de arestas e $ F $ é o número de faces.

Primeiro, vamos calcular o número total de faces $ F $:

$$
F = 1 (\text{decagonal}) + 1 (\text{pentagonal}) + 15 (\text{quadrangulares}) + 5 (\text{triangulares}) = 22
$$

Agora, precisamos determinar o número de arestas $ E $. Cada tipo de face contribui com um certo número de arestas, mas cada aresta é compartilhada entre duas faces. Portanto, devemos somar o número de arestas de todas as faces e depois dividir por 2:

$$
E = \frac{1 \times 10 + 1 \times 5 + 15 \times 4 + 5 \times 3}{2}
$$

Calculando o número total de arestas:

$$
E = \frac{10 + 5 + 60 + 15}{2} = \frac{90}{2} = 45
$$

Agora que temos $ F = 22 $ e $ E = 45 $, podemos usar a fórmula de Euler para encontrar o número de vértices $ V $:

$$
V - 45 + 22 = 2
$$

Simplificando a equação:

$$
V - 23 = 2
$$

$$
V = 25
$$

Portanto, o número de vértices do poliedro é:

$$
\boxed{25}
$$

Determine o número de vértices de um poliedro convexo que te...

Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 1 face decagonal, 1 face pentagonal, 15 faces quadrangulares e 5 faces triangulares.

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