Determine o número de vértices de um poliedro que tem três faces triangulares,uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais

Question

Accepted Answer

Para determinar o número de vértices de um poliedro com as faces especificadas, podemos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos:

$$
V - E + F = 2
$$

onde $V$ é o número de vértices, $E$ é o número de arestas e $F$ é o número de faces.

Primeiro, vamos contar o número total de faces ($F$):

$$
F = 3 \text{ (triangulares)} + 1 \text{ (quadrangular)} + 1 \text{ (pentagonal)} + 2 \text{ (hexagonais)} = 7
$$

Agora, vamos contar o número total de arestas ($E$). Cada tipo de face contribui com um certo número de arestas, mas cada aresta é compartilhada por duas faces. Então, contaremos as arestas de todas as faces e dividiremos por 2:

$$
E = \frac{1}{2} \left( 3 \times 3 + 1 \times 4 + 1 \times 5 + 2 \times 6 \right)
$$

Calculando:

$$
E = \frac{1}{2} \left( 9 + 4 + 5 + 12 \right) = \frac{1}{2} \times 30 = 15
$$

Agora, usando a fórmula de Euler:

$$
V - E + F = 2
$$

Substituindo os valores conhecidos:

$$
V - 15 + 7 = 2
$$

Simplificando:

$$
V - 8 = 2
$$

Portanto:

$$
V = 10
$$

O número de vértices do poliedro é $ \boxed{10} $.

Determine o número de vértices de um poliedro que tem três f...

Determine o número de vértices de um poliedro que tem três faces triangulares,uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais

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