Determine o valor da derivada da função f(x) = 42x + 3(2 - x²)√4x + 1 no ponto x = 2.

Q: Determine o valor da derivada da função f(x) = 42x + 3(2 - x²)√4x + 1 no ponto x = 2.

Para determinar o valor da derivada da função $ f(x) = 42x + 3(2 - x^2) \sqrt{4x + 1} $ no ponto $ x = 2 $, vamos seguir os passos abaixo: 1. **Derivada de $ 42x $:** \[ \frac{d}{dx}(42x) = 42 \] 2. **Derivada de $ 3(2 - x^2)\sqrt{4x + 1} $:** Usamos a regra do produto, onde: - $ u(x) = 3(2 - x^2) $ - $ v(x) = \sqrt{4x + 1} $ Primeiro, derivamos $ u(x) $: \[ u'(x) = 3(-2x) = -6x \] Agora, derivamos $ v(x) $ usando a regra da cadeia: \[ v(x) = (4x + 1)^{1/2} \] \[ v'(x) = \frac{1}{2}(4x + 1)^{-1/2} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x + 1}} \] Aplicando a regra do produto: \[ (uv)' = u'v + uv' \] \[ = (-6x)\sqrt{4x + 1} + 3(2 - x^2)\frac{2}{\sqrt{4x + 1}} \] 3. **Somando as derivadas:** \[ f'(x) = 42 + (-6x)\sqrt{4x + 1} + 3(2 - x^2)\frac{2}{\sqrt{4x + 1}} \] 4. **Avaliar em $ x = 2 $:** Primeiro, calculamos cada parte: - Para $ (-6x)\sqrt{4x + 1} $: \[ (-6 \cdot 2)\sqrt{4 \cdot 2 + 1} = -12\sqrt{9} = -12 \cdot 3 = -36 \] - Para $ 3(2 - x^2)\frac{2}{\sqrt{4x + 1}} $: \[ 3(2 - 2^2)\frac{2}{\sqrt{9}} = 3(2 - 4)\frac{2}{3} = 3(-2)\frac{2}{3} = -4 \] - Somando tudo: \[ f'(2) = 42 - 36 - 4 = 2 \] **Resposta: D** O valor da derivada da função no ponto $ x = 2 $ é $ 2 $.

Question

Accepted Answer

Para determinar o valor da derivada da função $ f(x) = 42x + 3(2 - x^2) \sqrt{4x + 1} $ no ponto $ x = 2 $, vamos seguir os passos abaixo:

1. **Derivada de $ 42x $:**
   $$
   \frac{d}{dx}(42x) = 42
   $$

2. **Derivada de $ 3(2 - x^2)\sqrt{4x + 1} $:**

Usamos a regra do produto, onde:
   - $ u(x) = 3(2 - x^2) $
   - $ v(x) = \sqrt{4x + 1} $

Primeiro, derivamos $ u(x) $:
   $$
   u'(x) = 3(-2x) = -6x
   $$

Agora, derivamos $ v(x) $ usando a regra da cadeia:
   $$
   v(x) = (4x + 1)^{1/2}
   $$
   $$
   v'(x) = \frac{1}{2}(4x + 1)^{-1/2} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x + 1}}
   $$

Aplicando a regra do produto:
   $$
   (uv)' = u'v + uv'
   $$
   $$
   = (-6x)\sqrt{4x + 1} + 3(2 - x^2)\frac{2}{\sqrt{4x + 1}}
   $$

3. **Somando as derivadas:**
   $$
   f'(x) = 42 + (-6x)\sqrt{4x + 1} + 3(2 - x^2)\frac{2}{\sqrt{4x + 1}}
   $$

4. **Avaliar em $ x = 2 $:**

Primeiro, calculamos cada parte:

- Para $ (-6x)\sqrt{4x + 1} $:
     $$
     (-6 \cdot 2)\sqrt{4 \cdot 2 + 1} = -12\sqrt{9} = -12 \cdot 3 = -36
     $$

- Para $ 3(2 - x^2)\frac{2}{\sqrt{4x + 1}} $:
     $$
     3(2 - 2^2)\frac{2}{\sqrt{9}} = 3(2 - 4)\frac{2}{3} = 3(-2)\frac{2}{3} = -4
     $$

- Somando tudo:
     $$
     f'(2) = 42 - 36 - 4 = 2
     $$

**Resposta: D**

O valor da derivada da função no ponto $ x = 2 $ é $ 2 $.

Determine o valor da derivada da função f(x) = 42x + 3(2 - x...

Determine o valor da derivada da função f(x) = 42x + 3(2 - x²)√4x + 1 no ponto x = 2.

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