Determine o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo x
da área limitada pelas curvas y2=2x
e y=x
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Question

Determine o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo  x 
 da área limitada pelas curvas  y2=2x 
 e  y=x
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Accepted Answer

Para determinar o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo $ x $ da área limitada pelas curvas $ y^2 = 2x $ e $ y = x $, usaremos o método dos discos ou anéis.

Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas:

1. $ y^2 = 2x $
2. $ y = x $

Substituindo $ y = x $ na primeira equação:

$$ x^2 = 2x $$

Rearranjando a equação:

$$ x^2 - 2x = 0 $$

Fatorando:

$$ x(x - 2) = 0 $$

Portanto, $ x = 0 $ ou $ x = 2 $.

Os pontos de interseção são $ (0, 0) $ e $ (2, 2) $.

Agora, para calcular o volume usando o método dos discos, a diferença entre as áreas das curvas será girada em torno do eixo $ x $. A função externa é $ y = x $ e a interna é $ y = \sqrt{2x} $.

O volume $ V $ é dado por:

$$ V = \pi \int_{0}^{2} [(x)^2 - (\sqrt{2x})^2] \, dx $$

Simplificando a integral:

$$ V = \pi \int_{0}^{2} [x^2 - 2x] \, dx $$

Calculando a integral:

$$ V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{0}^{2} $$

Substituindo os limites:

$$ V = \pi \left( \left[ \frac{2^3}{3} - 2^2 \right] - \left[ \frac{0^3}{3} - 0^2 \right] \right) $$

$$ V = \pi \left( \frac{8}{3} - 4 \right) $$

$$ V = \pi \left( \frac{8}{3} - \frac{12}{3} \right) $$

$$ V = \pi \left( -\frac{4}{3} \right) $$

Como o volume não pode ser negativo, tomamos o valor absoluto:

$$ V = \frac{4\pi}{3} $$

Assim, o volume do sólido gerado é $\frac{4\pi}{3}$ unidades cúbicas.

Determine o volume do sólido gerado pela revolução em torno ...

Determine o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo x da área limitada pelas curvas y2=2x e y=x .

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