Diariamente 1500 pessoas utilizam um certo banheiro público. A probabilidade de que uma destas pessoas contraia uma doença ao usar o
banheiro é de 0,2%. Qual é a probabilidade de que uma pessoa contraia uma doença por ter usado o banheiro? Utilize a distribuição de
Poisson

OA 12,76%

B4 14,94%

OC 15,84%

OD 16,79%

Question

Diariamente 1500 pessoas utilizam um certo banheiro público. A probabilidade de que uma destas pessoas contraia uma doença ao usar o
banheiro é de 0,2%. Qual é a probabilidade de que uma pessoa contraia uma doença por ter usado o banheiro? Utilize a distribuição de
Poisson

OA 12,76%

B4 14,94%

OC 15,84%

OD 16,79%

Accepted Answer

**Resposta: A**

Para resolver este problema, podemos usar a distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo de tempo ou espaço fixo, dado que esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e independentemente do tempo desde o último evento.

A fórmula para a distribuição de Poisson é:

$$
P(x; \lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}
$$

Onde:
- $ P(x; \lambda) $ é a probabilidade de observar $ x $ eventos.
- $ \lambda $ é o número médio de eventos (taxa média).
- $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2.71828).
- $ x! $ é o fatorial de $ x $.

Neste caso:
- O número de pessoas que usam o banheiro diariamente é 1500.
- A probabilidade de uma pessoa contrair uma doença ao usar o banheiro é de 0.2% ou 0.002.

Primeiro, calculamos a taxa média $ \lambda $:

$$
\lambda = n \times p
$$

Onde:
- $ n $ é o número de pessoas (1500).
- $ p $ é a probabilidade de contrair a doença (0.002).

$$
\lambda = 1500 \times 0.002 = 3
$$

Queremos encontrar a probabilidade de que exatamente uma pessoa contraia uma doença (x = 1). Usando a fórmula de Poisson:

$$
P(x=1; \lambda=3) = \frac{e^{-3} \times 3^1}{1!}
$$

Calculando:

$$
P(x=1; 3) = \frac{e^{-3} \times 3}{1}
$$

$$
P(x=1; 3) = e^{-3} \times 3
$$

$$
P(x=1; 3) \approx 0.049787 \times 3
$$

$$
P(x=1; 3) \approx 0.149361
$$

Convertendo para porcentagem:

$$
0.149361 \times 100 = 14.9361\%
$$

Arredondando para duas casas decimais, obtemos 14.94%.

No entanto, a pergunta pede a probabilidade de que uma pessoa contraia a doença, então devemos calcular a probabilidade para x = 1.

$$
P(X = 1) = \frac{e^{-3} \cdot 3^1}{1!} = 3e^{-3} \approx 3 \cdot 0.049787 \approx 0.149361
$$

Convertendo para porcentagem: