Dizer que uma televisão tem 20 polegadas significa que a diagonal da tela mede 20 polegadas. Quantas telas de 20 polegadas cabem, no máximo, sem superposição, numa tela de 60 polegadas?

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos considerar que o tamanho de uma tela de televisão é dado pela medida da sua diagonal. Assim, a diagonal da TV de 20 polegadas mede 20 polegadas, enquanto a diagonal da TV maior mede 60 polegadas.

Vamos supor que ambas as telas têm o mesmo formato (proporção da largura e altura). Geralmente, as TVs têm proporção **16:9** (largura:altura).

### Passo 1: Determinar as dimensões das telas
A relação entre a largura ($L$) e a altura ($A$) no formato 16:9 é dada por:
$$
L = \frac{16}{9}A
$$

O tamanho da diagonal ($D$) é relacionado à largura e altura pelo teorema de Pitágoras:
$$
D^2 = L^2 + A^2
$$

Substituímos $L = \frac{16}{9}A$ na equação:
$$
D^2 = \left(\frac{16}{9}A\right)^2 + A^2
$$
$$
D^2 = \frac{256}{81}A^2 + A^2
$$
$$
D^2 = \frac{256}{81}A^2 + \frac{81}{81}A^2
$$
$$
D^2 = \frac{337}{81}A^2
$$
$$
A^2 = \frac{81}{337}D^2
$$
$$
A = \sqrt{\frac{81}{337}}D
$$

Agora, calculamos a largura substituindo $A$ em $L = \frac{16}{9}A$:
$$
L = \frac{16}{9}\sqrt{\frac{81}{337}}D
$$

### Passo 2: Dimensões das telas
Para a TV de **20 polegadas** ($D = 20$):
$$
A_{20} = \sqrt{\frac{81}{337}} \cdot 20 \quad \text{e} \quad L_{20} = \frac{16}{9} \cdot \sqrt{\frac{81}{337}} \cdot 20
$$

Para a TV de **60 polegadas** ($D = 60$):
$$
A_{60} = \sqrt{\frac{81}{337}} \cdot 60 \quad \text{e} \quad L_{60} = \frac{16}{9} \cdot \sqrt{\frac{81}{337}} \cdot 60
$$

Como as proporções são iguais, podemos determinar quantas telas menores cabem na maior dividindo as áreas.

### Passo 3: Razão das áreas
A área de uma TV é proporcional ao produto da largura pela altura:
$$
\text{Área} \propto L \cdot A
$$

A razão entre as áreas será:
$$
\text{Razão} = \left(\frac{D_{60}}{D_{20}}\right)^2 = \left(\frac{60}{20}\right)^2 = 9
$$

Portanto, **cabem no máximo 9 telas de 20 polegadas dentro de uma tela de 60 polegadas, sem sobreposição**.

Dizer que uma televisão tem 20 polegadas significa que a dia...

Dizer que uma televisão tem 20 polegadas significa que a diagonal da tela mede 20 polegadas. Quantas telas de 20 polegadas cabem, no máximo, sem superposição, numa tela de 60 polegadas?

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