Dois trens, um de carga $ (C) $ e outro de passageiros $ (P) $, movem-se nos mesmos trilhos retilineos, em sentidos opostos, um aproximando-se do outro, ambos com movimentos uniformes, conforme mostra figura.

O trem de carga, de $ 50 \mathrm{~m} $ de comprimento, tem uma velocidade de módulo igual a $ 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $ e o de passageiros, uma velocidade de módulo igual a $ v $.

A fim de evitar a parada do trem de passageiros e uma colisão entre ambos, o trem de carga deve entrar em um desvio, como ilustra a figura. No instante focalizado, as distâncias das dianteiras dos trens ao desvio valem 200 m e 400 m, respectivamente.
O valor limite de velocidade que o trem de passageiros deve ter a fim de evitar a colisão é:
(A) $ 16 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $

Question

Dois trens, um de carga $ (C) $ e outro de passageiros $ (P) $, movem-se nos mesmos trilhos retilineos, em sentidos opostos, um aproximando-se do outro, ambos com movimentos uniformes, conforme mostra figura.

O trem de carga, de $ 50 \mathrm{~m} $ de comprimento, tem uma velocidade de módulo igual a $ 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $ e o de passageiros, uma velocidade de módulo igual a $ v $.

A fim de evitar a parada do trem de passageiros e uma colisão entre ambos, o trem de carga deve entrar em um desvio, como ilustra a figura. No instante focalizado, as distâncias das dianteiras dos trens ao desvio valem 200 m e 400 m, respectivamente.
O valor limite de velocidade que o trem de passageiros deve ter a fim de evitar a colisão é:
(A) $ 16 \mathrm{~m} / \mathrm{s} $

Accepted Answer

Para evitar a colisão, o trem de carga (C) precisa entrar no desvio antes de encontrar o trem de passageiros (P). Isso significa que o tempo necessário para o trem de carga chegar ao desvio não pode ser maior do que o tempo necessário para o trem de passageiros fazer o mesmo, considerando a distância da frente do trem de passageiros até o ponto de encontro.

Vamos usar $d_C$ e $d_P$ para representar as distâncias iniciais dos trens C e P ao desvio, respectivamente. Da mesma forma, $v_C$ e $v_P$ serão as velocidades do trem de carga e do trem de passageiros.

Dados do problema:
- $d_C = 200 \, \text{m}$
- $d_P = 400 \, \text{m}$
- $v_C = 10 \, \text{m/s}$
- $v_P$ é a velocidade do trem de passageiros que queremos encontrar.

Para evitar a colisão, o tempo que o trem de carga leva para alcançar o desvio deve ser igual ou menor que o tempo que o trem de passageiros leva para alcançar o mesmo ponto a partir de sua posição inicial.

O tempo é dado por $t = \frac{d}{v}$, onde $d$ é a distância e $v$ é a velocidade.

Assim, para o trem de carga, temos:
$$t_C = \frac{d_C}{v_C}$$

Para o trem de passageiros, considerando que ele precisa cobrir a distância $d_P$ mais os $50 \, \text{m}$ do comprimento do trem de carga (uma vez que o trem de passageiros precisa parar antes do início do trem de carga para evitar a colisão), temos:
$$t_P = \frac{d_P + 50}{v_P}$$

Igualando os tempos $t_C$ e $t_P$, temos:
$$\frac{d_C}{v_C} = \frac{d_P + 50}{v_P}$$

Substituindo os valores conhecidos:
$$\frac{200}{10} = \frac{400 + 50}{v_P}$$

Simplificando, obtemos:
$$20 = \frac{450}{v_P}$$

Resolvendo para $v_P$, encontramos:
$$v_P = \frac{450}{20} = 22,5 \, \text{m/s}$$

Portanto, a velocidade limite do trem de passageiros para evitar a colisão (considerando que ambos os trens precisam parar imediatamente um em frente ao outro sem sobreposição) seria de $22,5 \, \text{m/s}$, o que não corresponde à alternativa fornecida (A) $16 \, \text{m/s}$. Parece haver um equívoco na interpretação dos dados ou na formulação da questão conforme apresentada. A resposta correta, com base nos cálculos e na interpretação fornecida, seria $22,5 \, \text{m/s}$.

Dois trens, um de carga

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