Duas cascas esféricas concêntricas (metálicas) de raio R_1

Question

Duas cascas esféricas concêntricas (metálicas) de raio R_1<R_2, possuem uma densidade superficial de carga σ_1 e σ_2 respetivamente. Determine a distribuição do potencial em todo o espaço do sistema.

Accepted Answer

Para determinar a distribuição do potencial em todo o espaço do sistema, podemos dividir o espaço em três regiões e aplicar a lei de Gauss e a relação entre o campo elétrico e o potencial. As regiões são: 1. $r < R_1$ (dentro da casca menor) 2. $R_1 < r < R_2$ (entre as cascas) 3. $r > R_2$ (fora da casca maior) **1. Região $r < R_1$:** Dentro da casca menor, o campo elétrico é zero, pois estamos dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático. $$E = 0$$ Como $E = -\frac{dV}{dr}$, então $V$ é constante. Vamos chamar essa constante de $V_1$. **2. Região $R_1 < r < R_2$:** Nesta região, aplicamos a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. Considere uma superfície gaussiana esférica de raio $r$ ($R_1 < r < R_2$). A carga envolvida é a carga na casca interna: $$Q_{enc} = \sigma_1 \cdot 4\pi R_1^2$$ Pela lei de Gauss: $$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}$$ $$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{\sigma_1 \cdot 4\pi R_1^2}{\epsilon_0}$$ $$E = \frac{\sigma_1 R_1^2}{\epsilon_0 r^2}$$ Agora, integramos o campo elétrico para encontrar o potencial: $$V(r) = -\int E \, dr = -\int \frac{\sigma_1 R_1^2}{\epsilon_0 r^2} dr = \frac{\sigma_1 R_1^2}{\epsilon_0 r} + C_2$$ Para determinar $C_2$, usamos a continuidade do potencial na fronteira $r = R_1$: $$V(R_1) = V_1 = \frac{\sigma_1 R_1^2}{\epsilon_0 R_1} + C_2 = \frac{\sigma_1 R_1}{\epsilon_0} + C_2$$ $$C_2 = V_1 - \frac{\sigma_1 R_1}{\epsilon_0}$$ Então, $$V(r) = \frac{\sigma_1 R_1^2}{\epsilon_0 r} + V_1 - \frac{\sigma_1 R_1}{\epsilon_0}$$ **3. Região $r > R_2$:** Nesta região, a carga envolvida é a soma das cargas nas duas cascas: $$Q_{enc} = \sigma_1 \cdot 4\pi R_1^2 + \sigma_2 \cdot 4\pi R_2^2$$ Pela lei de Gauss: $$E \cdot 4\pi r^2 = \frac{\sigma_1 \cdot 4\pi R_1^2 + \sigma_2 \cdot 4\pi R_2^2}{\epsilon_0}$$ $$E = \frac{\sigma_1 R_1^2 + \sigma_2 R_2^2}{\epsilon_0 r^2}$$ Integramos o campo elétrico para encontrar o potencial: $$V(r) = -\int E \, dr = -\int \frac{\sigma_1 R_1^2 + \sigma_2 R_2^2}{\epsilon_0 r^2} dr = \frac{\sigma_1 R_1^2 + \sigma_2 R_2^2}{\epsilon_0 r} + C_3$$ Para determinar $C_3$, usamos a continuidade do potencial na fronteira $r = R_2$: $$V(R_2) = \frac{\sigma_1 R_1^2}{\epsilon_0 R_2} + V_1 - \frac{\sigma_1 R_1}{\epsilon_0} = \frac{\sigma_1 R_1^2 + \sigma_2 R_2^2}{\epsilon_0 R_2} + C_3$$ $$C_3 = \frac{\sigma_1 R_1^2}{\epsilon_0 R_2} + V_1 - \frac{\sigma_1 R_1}{\epsilon_0} - \frac{\sigma_1 R_1^2 + \sigma_2 R_2^2}{\epsilon_0 R_2} = V_1 - \frac{\sigma_1 R_1}{\epsilon_0} - \frac{\sigma_2 R_2}{\epsilon_0}$$ Então, $$V(r) = \frac{\sigma_1 R_1^2 + \sigma_2 R_2^2}{\epsilon_0 r} + V_1 - \frac{\sigma_1 R_1}{\epsilon_0} - \frac{\sigma_2 R_2}{\epsilon_0}$$ **Resumo:** 1. $r < R_1$: $V(r) = V_1$ 2. $R_1 < r < R_2$: $V(r) = \frac{\sigma_1 R_1^2}{\epsilon_0 r} + V_1 - \frac{\sigma_1 R_1}{\epsilon_0}$ 3. $r > R_2$: $V(r) = \frac{\sigma_1 R_1^2 + \sigma_2 R_2^2}{\epsilon_0 r} + V_1 - \frac{\sigma_1 R_1}{\epsilon_0} - \frac{\sigma_2 R_2}{\epsilon_0}$ Onde $V_1$ é o potencial na região $r < R_1$, que pode ser definido como referência (por exemplo, $V_1 = 0$).

Duas cascas esféricas concêntricas (metálicas) de raio R_1<R...

Duas cascas esféricas concêntricas (metálicas) de raio R_1<R_2, possuem uma densidade superficial de carga σ_1 e σ_2 respetivamente. Determine a distribuição do potencial em todo o espaço do sistema.

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