Duas crianças brincam em uma gangorra. A gangorra tem como peça principal uma barra de ferro com comprimento $ l $, contendo dois assentos em suas extremidades nos quais as crianças sentam. Quando uma das crianças se encontra no ponto mais baixo, com o assento tocando o chão, a outra criança se encontra no ponto mais alto, a uma altura de $ h $ igual à metade do comprimento da barra. Neste instante, a distância horizontal entre as duas crianças é de, aproximadamente, $ 2 \mathrm{~m} $.

A-altura máxima alcançada pelas crianças durante a brincadeira, em metros, é

Question

Duas crianças brincam em uma gangorra. A gangorra tem como peça principal uma barra de ferro com comprimento $ l $, contendo dois assentos em suas extremidades nos quais as crianças sentam. Quando uma das crianças se encontra no ponto mais baixo, com o assento tocando o chão, a outra criança se encontra no ponto mais alto, a uma altura de $ h $ igual à metade do comprimento da barra. Neste instante, a distância horizontal entre as duas crianças é de, aproximadamente, $ 2 \mathrm{~m} $. A-altura máxima alcançada pelas crianças durante a brincadeira, em metros, é

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13/05/24

A-altura máxima alcançada pelas crianças durante a brincadeira, em metros, é

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Para resolver essa questão, precisamos entender a configuração da gangorra quando uma criança está no ponto mais alto e a outra no ponto mais baixo. A altura máxima $ h $ alcançada pela criança no ponto mais alto é dada como metade do comprimento da barra $ l $, ou seja, $ h = \frac{l}{2} $.

A distância horizontal entre as duas crianças é dada como aproximadamente $ 2 $ metros. Isso sugere que estamos lidando com um triângulo retângulo onde a hipotenusa é o comprimento da barra da gangorra $ l $, um dos lados é a altura $ h $ (que também é $ \frac{l}{2} $), e o outro lado é a metade da distância horizontal entre as crianças, ou seja, $ 1 $ metro, pois a distância total entre as crianças é distribuída igualmente para cada lado do ponto de fulcro da gangorra.

Podemos então aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento $ l $ da barra:

$$
l^2 = h^2 + (1 \mathrm{~m})^2
$$

Substituindo $ h $ por $ \frac{l}{2} $, obtemos:

$$
l^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + 1^2
$$

$$
l^2 = \frac{l^2}{4} + 1
$$

Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:

$$
4l^2 = l^2 + 4
$$

$$
3l^2 = 4
$$

$$
l^2 = \frac{4}{3}
$$

$$
l = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}
$$

Para simplificar a expressão, podemos racionalizar o denominador:

$$
l = \frac{2\sqrt{3}}{3}
$$

A altura máxima $ h $ é metade do comprimento $ l $, então:

$$
h = \frac{l}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}
$$

Convertendo para uma aproximação decimal, sabendo que $ \sqrt{3} \approx 1.732 $:

$$
h \approx \frac{1.732}{3} \approx 0.577 \text{ metros}
$$

Portanto, a altura máxima alcançada pelas crianças durante a brincadeira é aproximadamente $ 0.577 $ metros.

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