Duas firmas produzem um bem com preço unitário constante p=$12. A primeira, situada na margem de um rio, opera com a função custo c(x)= x^2, sendo x a quantidade do bem produzida por ela. A outra firma, localizada pouco adiante no mesmo rio, produz a quantidade y do mesmo bem. com custo expresso por c(y) = x^2+0.5x^2. O ultimo componente dessa expressão representa a externalidade negativa gerada pela poluição por parte de outra firma. Calcule a redução no número de unidades produzidas pela firma poluídora. Caso a firma B tenha o direito de propriedade
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Gustavo
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01/07/24

Question

Question image: Duas firmas produzem um bem com preço unitário constante p=$12. A primeira, situada na margem de um rio, opera com a função custo c(x)= x^2, sendo x a quantidade do bem produzida por ela. A outra firma, localizada pouco adiante no mesmo rio, produz a quantidade y do mesmo bem. com custo expresso por c(y) = x^2+0.5x^2. O ultimo componente dessa expressão representa a externalidade negativa gerada pela poluição por parte de outra firma. Calcule a redução no número de unidades produzidas pela firma poluídora. Caso a firma B tenha o direito de propriedade

Duas firmas produzem um bem com preço unitário constante p=$12. A primeira, situada na margem de um rio, opera com a função custo c(x)= x^2, sendo x a quantidade do bem produzida por ela. A outra firma, localizada pouco adiante no mesmo rio, produz a quantidade y do mesmo bem. com custo expresso por c(y) = x^2+0.5x^2. O ultimo componente dessa expressão representa a externalidade negativa gerada pela poluição por parte de outra firma. Calcule a redução no número de unidades produzidas pela firma poluídora. Caso a firma B tenha o direito de propriedade

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01/07/24

Accepted Answer

Para calcular a redução no número de unidades produzidas pela firma poluída (firma B), quando ela tem o direito de propriedade, precisamos considerar como a externalidade negativa afeta sua função custo e como isso influencia sua decisão de produção.

Vamos definir as funções de custo das duas firmas:

- Firma A: $ C_A(x) = x^2 $
- Firma B: $ C_B(y) = y^2 + 0.5x^2 $

A firma B enfrenta um custo adicional devido à poluição causada pela firma A. Com o direito de propriedade, a firma B pode exigir compensação da firma A para permitir a produção que causa poluição. Vamos maximizar o lucro de ambas as firmas considerando essa situação.

### Passo 1: Função Lucro

A receita de cada firma é dada por $ R = p \cdot q $, onde $ p = 12 $.

- Receita da firma A: $ R_A = 12x $
- Receita da firma B: $ R_B = 12y $

### Passo 2: Função Lucro Líquido

As funções de lucro líquido para cada firma são:

- Firma A: $ \pi_A = R_A - C_A = 12x - x^2 $
- Firma B: $ \pi_B = R_B - C_B = 12y - (y^2 + 0.5x^2) $

### Passo 3: Maximização do Lucro

Para maximizar o lucro, derivamos as funções de lucro em relação às quantidades produzidas e igualamos a zero.

#### Firma A:

$$
\frac{d\pi_A}{dx} = 12 - 2x = 0 \implies x = 6
$$

#### Firma B:

$$
\frac{d\pi_B}{dy} = 12 - 2y = 0 \implies y = 6
$$

No entanto, a firma B considera o custo adicional causado pela poluição da firma A. Se a firma B tem o direito de propriedade, ela pode negociar para reduzir a poluição. Vamos calcular o impacto dessa negociação.

### Passo 4: Negociação e Redução da Produção

Se a firma B exige que a firma A reduza sua produção para minimizar os custos de poluição, vamos considerar que a firma A reduz sua produção de $ x = 6 $ para um novo valor $ x' $.

A nova função de lucro da firma B considerando a redução na produção de A seria:

$$
\pi_B = 12y - (y^2 + 0.5(x')^2)
$$

Para encontrar a quantidade $ x' $ que maximiza o lucro total, precisaríamos resolver o sistema de equações considerando a compensação negociada entre as firmas.

### Conclusão

A redução exata no número de unidades produzidas pela firma A depende da negociação entre as firmas e da compensação acordada. No entanto, podemos inferir que a firma A reduzirá sua produção de $ x = 6 $ para um valor menor $ x' $ para minimizar o custo da externalidade sobre a firma B. Essa redução será determinada pela maximização conjunta dos lucros e pelo equilíbrio de mercado.

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