E23 (FATEAl) Duas lâminas, uma de aço e outra de bronze, têm comprimentos de 20 cm a uma temperatura inicial de 15 °C. Sabendo que os coeficientes de dilatação linear valem, respectivamente, 11 ⋅ 10⁻⁶ °C⁻¹ e 19 ⋅ 10⁻⁶ °C⁻¹, calcule a diferença de comprimento quando as lâminas atingem uma temperatura de 75 °C.

E24 Duas barras, uma de cobre e outra de latão, têm o mesmo comprimento a 10 °C, mas, a 100 °C, seus comprimentos diferem em 1 mm. Os coeficientes de dilatação linear do cobre e do latão são, respectivamente, 16 ⋅ 10⁻⁶ °C⁻¹ e 20 ⋅ 10⁻⁶ °C⁻¹. Determine o comprimento de cada barra a 10 °C.

Question

E23 (FATEAl) Duas lâminas, uma de aço e outra de bronze, têm comprimentos de 20 cm a uma temperatura inicial de 15 °C. Sabendo que os coeficientes de dilatação linear valem, respectivamente, 11 ⋅ 10⁻⁶ °C⁻¹ e 19 ⋅ 10⁻⁶ °C⁻¹, calcule a diferença de comprimento quando as lâminas atingem uma temperatura de 75 °C.

E24 Duas barras, uma de cobre e outra de latão, têm o mesmo comprimento a 10 °C, mas, a 100 °C, seus comprimentos diferem em 1 mm. Os coeficientes de dilatação linear do cobre e do latão são, respectivamente, 16 ⋅ 10⁻⁶ °C⁻¹ e 20 ⋅ 10⁻⁶ °C⁻¹. Determine o comprimento de cada barra a 10 °C.

Accepted Answer

Vamos resolver as questões apresentadas.

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**Questão 21:**  
Duas lâminas, uma de aço e outra de bronze, têm comprimentos de 20 cm a uma temperatura de 15 °C. Sabendo que os coeficientes de dilatação linear valem, respectivamente, $17 \times 10^{-6} \,°C^{-1}$ (aço) e $19 \times 10^{-6} \,°C^{-1}$ (bronze), calcule a diferença de comprimento quando as lâminas atingem uma temperatura de 35 °C.

### Fórmula da dilatação linear:
$$
\Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T
$$

#### Cálculo para o aço:
- Comprimento inicial ($L_0$) = 20 cm  
- Coeficiente de dilatação linear ($\alpha$) = $17 \times 10^{-6} \,°C^{-1}$  
- Variação de temperatura ($\Delta T$) = $35 - 15 = 20 \,°C$

$$
\Delta L_{\text{aço}} = 20 \cdot 17 \cdot 10^{-6} \cdot 20
$$
$$
\Delta L_{\text{aço}} = 0,0068 \, \text{cm}
$$

#### Cálculo para o bronze:
- Comprimento inicial ($L_0$) = 20 cm  
- Coeficiente de dilatação linear ($\alpha$) = $19 \times 10^{-6} \,°C^{-1}$  
- Variação de temperatura ($\Delta T$) = $35 - 15 = 20 \,°C$

$$
\Delta L_{\text{bronze}} = 20 \cdot 19 \cdot 10^{-6} \cdot 20
$$
$$
\Delta L_{\text{bronze}} = 0,0076 \, \text{cm}
$$

#### Diferença de comprimento:
$$
\Delta L_{\text{dif}} = \Delta L_{\text{bronze}} - \Delta L_{\text{aço}}
$$
$$
\Delta L_{\text{dif}} = 0,0076 - 0,0068 = 0,0008 \, \text{cm}
$$

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**Resposta da Questão 21:** A diferença de comprimento é **0,0008 cm**.

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**Questão 22:**  
Duas barras, uma de cobre e outra de latão, têm o mesmo comprimento a 10 °C, mas, a 100 °C, seus comprimentos diferem em 1 mm. Os coeficientes de dilatação linear do cobre e do latão são, respectivamente, $16 \times 10^{-6} \,°C^{-1}$ e $20 \times 10^{-6} \,°C^{-1}$. Determine o comprimento de cada barra a 10 °C.

### Fórmula da dilatação linear:
$$
\Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T
$$

A diferença de dilatação entre as duas barras é de 1 mm ($0,1 \, \text{cm}$). Assim:

$$
\Delta L_{\text{latão}} - \Delta L_{\text{cobre}} = 0,1 \, \text{cm}
$$

Substituindo a fórmula da dilatação para cada material:
$$
L_0 \cdot 20 \cdot 10^{-6} \cdot (100 - 10) - L_0 \cdot 16 \cdot 10^{-6} \cdot (100 - 10) = 0,1
$$

Fatorando $L_0$ e simplificando:
$$
L_0 \cdot \left[20 - 16\right] \cdot 10^{-6} \cdot 90 = 0,1
$$
$$
L_0 \cdot 4 \cdot 10^{-6} \cdot 90 = 0,1
$$
$$
L_0 \cdot 0,00036 = 0,1
$$
$$
L_0 = \frac{0,1}{0,00036}
$$
$$
L_0 = 277,78 \, \text{cm}
$$

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**Resposta da Questão 22:** O comprimento de cada barra a 10 °C é **277,78 cm**.

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