E6. Inicialmente, isto é, quando t = 0, um corpo, à temperatura de T0 ºC, é deixado para esfriar num ambiente cuja temperatura é mantida constante e igual a Ta ºC. Considere T0 Ta. Suponha que, após t horas, a temperatura T do corpo satisfaça a esta Lei de Resfriamento de Newton:

T(t) = Ta + c · 5^(-kt)

em que c e k são constantes positivas.

Suponha ainda que:
✓ a temperatura inicial é T0 = 150 ºC;
✓ a temperatura ambiente é Ta = 25 ºC; e
✓ a temperatura do corpo após 1 hora é T1 = 30 ºC.

Considerando essas informações:
a) calcule os valores das constantes c e k.
b) determine o instante em que a temperatura do corpo atinge 26 ºC.

Question

E6. Inicialmente, isto é, quando t = 0, um corpo, à temperatura de T0 ºC, é deixado para esfriar num ambiente cuja temperatura é mantida constante e igual a Ta ºC. Considere T0 > Ta. Suponha que, após t horas, a temperatura T do corpo satisfaça a esta Lei de Resfriamento de Newton:

T(t) = Ta + c · 5^(-kt)

em que c e k são constantes positivas.

Suponha ainda que:
✓ a temperatura inicial é T0 = 150 ºC;
✓ a temperatura ambiente é Ta = 25 ºC; e
✓ a temperatura do corpo após 1 hora é T1 = 30 ºC.

Considerando essas informações:
a) calcule os valores das constantes c e k.
b) determine o instante em que a temperatura do corpo atinge 26 ºC.

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton dada por:

$$ T(t) = T_a + c \cdot 5^{-kt} $$

com as informações fornecidas:

- $ T_0 = 150^\circ C $
- $ T_a = 25^\circ C $
- $ T_1 = 30^\circ C $ (após 1 hora)

### Passo a: Calcular os valores das constantes $ c $ e $ k $.

1. **Quando $ t = 0 $:**

$$
T(0) = T_a + c \cdot 5^{0} = T_a + c = T_0
$$

$$
150 = 25 + c \implies c = 125
$$

2. **Quando $ t = 1 $:**

$$
T(1) = T_a + c \cdot 5^{-k} = 30
$$

$$
30 = 25 + 125 \cdot 5^{-k}
$$

$$
5 = 125 \cdot 5^{-k}
$$

Dividindo ambos os lados por 125:

$$
\frac{1}{25} = 5^{-k}
$$

Convertendo para potências de 5:

$$
5^{-2} = 5^{-k} \implies k = 2
$$

### Passo b: Determinar o instante em que a temperatura do corpo atinge $ 26^\circ C $.

Usando a equação com $ T(t) = 26 $:

$$
26 = 25 + 125 \cdot 5^{-2t}
$$

$$
1 = 125 \cdot 5^{-2t}
$$

Dividindo ambos os lados por 125:

$$
\frac{1}{125} = 5^{-2t}
$$

Convertendo para potências de 5:

$$
5^{-3} = 5^{-2t} \implies -3 = -2t \implies t = \frac{3}{2}
$$

Portanto, o instante em que a temperatura do corpo atinge $ 26^\circ C $ é $ t = 1,5 $ horas.

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