Em 40 minutos, um ciclista percorreu dezessete oitavos de volta, em uma pista circular de raio r e, em seguida, parou para descansar.
a) Qual é o ângulo do arco, em grau e radiano, que representa todo o trajeto percorrido pelo ciclista?
b) Qual é o ângulo menor do arco de extremidades no ponto de partida e no ponto em que o ciclista parou?
c) Calcule o cosseno do ângulo obtido nos itens a) e b).

Question

Em 40 minutos, um ciclista percorreu dezessete oitavos de volta, em uma pista circular de raio r e, em seguida, parou para descansar.
a) Qual é o ângulo do arco, em grau e radiano, que representa todo o trajeto percorrido pelo ciclista?
b) Qual é o ângulo menor do arco de extremidades no ponto de partida e no ponto em que o ciclista parou?
c) Calcule o cosseno do ângulo obtido nos itens a) e b).

Accepted Answer

Para resolver as questões, vamos considerar a relação entre voltas completas e ângulos em graus e radianos.

### a) Ângulo do arco para o trajeto percorrido

O ciclista percorreu $\frac{17}{8}$ de volta. Uma volta completa corresponde a $360^\circ$ ou $2\pi$ radianos.

- **Em graus:**
  $$
  \text{Ângulo em graus} = \frac{17}{8} \times 360^\circ = 765^\circ
  $$

- **Em radianos:**
  $$
  \text{Ângulo em radianos} = \frac{17}{8} \times 2\pi = \frac{34\pi}{8} = \frac{17\pi}{4} \, \text{radianos}
  $$

### b) Ângulo menor do arco

Para encontrar o ângulo menor, precisamos considerar que o ciclista terminou após completar mais de duas voltas ($\frac{17}{8} = 2 + \frac{1}{8}$). O ângulo menor será o restante após subtrair as duas voltas completas.

- **Em graus:**
  $$
  \text{Ângulo menor em graus} = 765^\circ - 720^\circ = 45^\circ
  $$

- **Em radianos:**
  $$
  \text{Ângulo menor em radianos} = \frac{17\pi}{4} - 2 \times 2\pi = \frac{17\pi}{4} - \frac{16\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \, \text{radianos}
  $$

### c) Cosseno dos ângulos obtidos

- **Cosseno do ângulo de 765° ou $\frac{17\pi}{4}$:**

O cosseno de um ângulo é periódico com período $360^\circ$ ou $2\pi$. Assim, $\cos(765^\circ) = \cos(45^\circ)$.

$$
  \cos(45^\circ) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
  $$

- **Cosseno do ângulo menor (45° ou $\frac{\pi}{4}$):**

$$
  \cos(45^\circ) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
  $$

Portanto, o cosseno do ângulo obtido nos itens a) e b) é $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Em 40 minutos, um ciclista percorreu dezessete oitavos de vo...

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