Em qualquer triângulo, o baricentro, o circuncentro e o ortocentro estão sempre alinhados numa reta denominada reta de Euler. Se os vértices de um triângulo são dados pelas coordenadas (0, 0), (0, 6) e (12, 0), uma equação da reta de Euler desse triângulo é:
a) y = 2x
b) x = 2y
c) x + y = 0
d) x-y= 0
= 3x

Question

Accepted Answer

**Resposta: a) y = 2x**

Para determinar a equação da reta de Euler, precisamos encontrar as coordenadas do baricentro, circuncentro e ortocentro do triângulo cujos vértices são $A(0, 0)$, $B(0, 6)$ e $C(12, 0)$.

1. **Baricentro (G):** 
   O baricentro é o ponto médio das coordenadas dos vértices do triângulo.
   $$
   G = \left(\frac{0 + 0 + 12}{3}, \frac{0 + 6 + 0}{3}\right) = (4, 2)
   $$

2. **Circuncentro (O):** 
   O circuncentro é o ponto onde as mediatrizes dos lados do triângulo se encontram. Para um triângulo retângulo, ele é o ponto médio da hipotenusa. A hipotenusa é o segmento $BC$.
   $$
   O = \left(\frac{0 + 12}{2}, \frac{6 + 0}{2}\right) = (6, 3)
   $$

3. **Ortôcentro (H):**
   O ortocentro é o ponto onde as alturas do triângulo se encontram. Para um triângulo retângulo, ele é o vértice do ângulo reto, no caso, o ponto $A$.
   $$
   H = (0, 0)
   $$

Agora, com os pontos $G(4, 2)$, $O(6, 3)$ e $H(0, 0)$, podemos encontrar a equação da reta que passa por esses pontos. Calculamos a inclinação usando $G$ e $O$:

$$
\text{Inclinação} = \frac{3 - 2}{6 - 4} = \frac{1}{2}
$$

Assim, a equação da reta de Euler é $y = \frac{1}{2}x$, que corresponde à opção:

**a) y = 2x**

Em qualquer triângulo, o baricentro, o circuncentro e o orto...

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