Em um calorímetro de capacidade térmica desprezível, foram misturados 200 g de água, inicialmente a 20 °C, e 400 g de ouro, inicialmente a 80 °C. Sabendo que os calores específicos da água e do ouro são, respectivamente, 1 cal/g°C e 0,03 cal/g°C. Determine a temperatura final aproximada da mistura.

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, utilizamos o princípio da conservação de energia, que nos diz que o calor perdido pelo ouro será igual ao calor ganho pela água.

Vamos definir as variáveis:
- $ m_{\text{água}} = 200 \, \text{g} $
- $ c_{\text{água}} = 1 \, \text{cal/g°C} $
- $ T_{\text{água inicial}} = 20 \, °C $

- $ m_{\text{ouro}} = 400 \, \text{g} $
- $ c_{\text{ouro}} = 0,03 \, \text{cal/g°C} $
- $ T_{\text{ouro inicial}} = 80 \, °C $

Vamos chamar a temperatura final de equilíbrio da mistura de $ T_f $.

A quantidade de calor que a água ganha é dada por:

$$
Q_{\text{água}} = m_{\text{água}} \cdot c_{\text{água}} \cdot (T_f - T_{\text{água inicial}})
$$

A quantidade de calor que o ouro perde é dada por:

$$
Q_{\text{ouro}} = m_{\text{ouro}} \cdot c_{\text{ouro}} \cdot (T_{\text{ouro inicial}} - T_f)
$$

Como o calor perdido pelo ouro é igual ao calor ganho pela água, temos:

$$
m_{\text{água}} \cdot c_{\text{água}} \cdot (T_f - T_{\text{água inicial}}) = m_{\text{ouro}} \cdot c_{\text{ouro}} \cdot (T_{\text{ouro inicial}} - T_f)
$$

Substituindo os valores conhecidos:

$$
200 \cdot 1 \cdot (T_f - 20) = 400 \cdot 0,03 \cdot (80 - T_f)
$$

Simplificando:

$$
200 \cdot (T_f - 20) = 12 \cdot (80 - T_f)
$$

Distribuindo os termos:

$$
200T_f - 4000 = 960 - 12T_f
$$

Isolando $ T_f $:

$$
200T_f + 12T_f = 960 + 4000
$$

$$
212T_f = 4960
$$

$$
T_f = \frac{4960}{212}
$$

$$
T_f \approx 23,4 \, °C
$$

Portanto, a temperatura final aproximada da mistura é $ 23,4 \, °C $.

Em um calorímetro de capacidade térmica desprezível, foram m...

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