Em um paralelepípedo reto retângulo o comprimento é o dobro da largura e a altura é 15 cm sabendo que a área total é 424 cm calcular as dimensões desconhecidas desse paralelepípedo
L
Lana
22/08/24

Question

Em um paralelepípedo reto retângulo o comprimento é o dobro da largura e a altura é 15 cm sabendo que a área total é 424 cm calcular as dimensões desconhecidas desse paralelepípedo

Accepted Answer

Para resolver esse problema, vamos usar as informações dadas e a fórmula da área total de um paralelepípedo reto retângulo.

A fórmula para a área total $ A $ de um paralelepípedo reto retângulo é:

$$
A = 2(ab + bc + ac)
$$

onde $ a $ é o comprimento, $ b $ é a largura e $ c $ é a altura.

Dado que:
- $ c = 15 $ cm,
- $ a = 2b $,
- $ A = 424 $ cm².

Substituindo na fórmula da área total:

$$
424 = 2((2b)b + b \cdot 15 + (2b) \cdot 15)
$$

Simplificando:

$$
424 = 2(2b^2 + 15b + 30b)
$$

$$
424 = 2(2b^2 + 45b)
$$

$$
424 = 4b^2 + 90b
$$

Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:

$$
212 = 2b^2 + 45b
$$

Rearranjando para formar uma equação quadrática:

$$
2b^2 + 45b - 212 = 0
$$

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

$$
b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}
$$

onde $ A = 2 $, $ B = 45 $, $ C = -212 $.

Calculando o discriminante ($ \Delta $):

$$
\Delta = B^2 - 4AC = 45^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-212)
$$

$$
\Delta = 2025 + 1696
$$

$$
\Delta = 3721
$$

Como $ \Delta $ é um quadrado perfeito ($ \sqrt{3721} = 61 $), podemos prosseguir com a solução:

$$
b = \frac{-45 \pm 61}{4}
$$

Calculando as raízes:

1. $ b_1 = \frac{-45 + 61}{4} = \frac{16}{4} = 4 $
2. $ b_2 = \frac{-45 - 61}{4} = \frac{-106}{4} = -26.5 $ (não faz sentido pois a medida não pode ser negativa)

Portanto, $ b = 4 $ cm.

Agora, substituímos para encontrar $ a $:

$ a = 2b = 2 \times 4 = 8 $ cm.

Assim, as dimensões do paralelepípedo são:
- Comprimento ($ a $): 8 cm
- Largura ($ b $): 4 cm
- Altura ($ c $): 15 cm.