Em um paralelogramo ABCD, os lados AB e AD medem respectivamente x cm e 0 e é ângulo formado por esses lados. Se a diagonal maior mede 2x cm, então o ângulo θ é tal que

a) cos θ = √4
b) sen θ = 4/2
c) cos θ = √3/4
d) sen θ = 1/2
e) tg θ = √2

Question

Em um paralelogramo ABCD, os lados AB e AD medem respectivamente x cm e 0 e é ângulo formado por esses lados. Se a diagonal maior mede 2x cm, então o ângulo θ é tal que

a) cos θ = √4
b) sen θ = 4/2
c) cos θ = √3/4
d) sen θ = 1/2
e) tg θ = √2

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar a fórmula do cosseno para diagonais em um paralelogramo. Se $AB = x\sqrt{2}$, $AD = x$, e a diagonal maior $AC = 2x$, podemos aplicar a fórmula:

$$
AC^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos \theta
$$

Substituindo os valores:

$$
(2x)^2 = (x\sqrt{2})^2 + x^2 - 2 \cdot (x\sqrt{2}) \cdot x \cdot \cos \theta
$$

$$
4x^2 = 2x^2 + x^2 - 2x^2\sqrt{2} \cdot \cos \theta
$$

$$
4x^2 = 3x^2 - 2x^2\sqrt{2} \cdot \cos \theta
$$

Isolando $\cos \theta$:

$$
x^2 = 2x^2\sqrt{2} \cdot \cos \theta
$$

$$
\cos \theta = \frac{1}{2\sqrt{2}}
$$

Racionalizando o denominador:

$$
\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{4}
$$

Portanto, a resposta correta é **b) $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{4}$**.

Em um paralelogramo ABCD, os lados AB e AD medem respectivamente x cm e 0 e é ângulo formado por esses lados. Se a diagonal maior mede 2x cm, então o ângulo θ é tal que a) cos θ = √4 b) sen θ = 4/2 c) cos θ = √3/4 d) sen θ = 1/2 e) tg θ = √2