Em um sistema de coordenadas tridimensionais, considere a reta r, definida pelos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6), e o plano a, dado pela equação 2x - y + 3z = 7. Determine qual das seguintes alternativas representa a relação correta entre a reta r e o plano a:

A: A reta r é paralela ao plano a.
B: A reta r é perpendicular ao plano a.
C: A reta r está contida no plano a.
D: A reta r intercepta o plano a em um único ponto.
E: A reta r e o plano a são coincidentes.

Question

Em um sistema de coordenadas tridimensionais, considere a reta r, definida pelos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6), e o plano a, dado pela equação 2x - y + 3z = 7. Determine qual das seguintes alternativas representa a relação correta entre a reta r e o plano a:

A: A reta r é paralela ao plano a.
B: A reta r é perpendicular ao plano a.
C: A reta r está contida no plano a.
D: A reta r intercepta o plano a em um único ponto.
E: A reta r e o plano a são coincidentes.

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos determinar a relação entre a reta $ r $ e o plano $ a $.

1. **Vetor diretor da reta $ r $:**

A reta $ r $ é definida pelos pontos $ A(1, 2, 3) $ e $ B(4, 5, 6) $. O vetor diretor $ \vec{v} $ da reta pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de $ A $ de $ B $:

$$
\vec{v} = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3)
$$

2. **Normal do plano $ a $:**

O plano $ a $ é dado pela equação $ 2x - y + 3z = 7 $. O vetor normal $ \vec{n} $ ao plano é $ (2, -1, 3) $.

3. **Produto escalar:**

Para verificar se a reta é perpendicular ou paralela ao plano, calculamos o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano:

$$
\vec{v} \cdot \vec{n} = (3, 3, 3) \cdot (2, -1, 3) = 3 \times 2 + 3 \times (-1) + 3 \times 3 = 6 - 3 + 9 = 12
$$

Como o produto escalar não é zero, a reta não é perpendicular ao plano.

4. **Verificação de interseção:**

Para verificar se a reta intercepta o plano, substituímos os pontos da reta na equação do plano. Vamos verificar com o ponto $ A(1, 2, 3) $:

$$
2(1) - 2 + 3(3) = 2 - 2 + 9 = 9 \neq 7
$$

Agora, verificamos com o ponto $ B(4, 5, 6) $:

$$
2(4) - 5 + 3(6) = 8 - 5 + 18 = 21 \neq 7
$$

Nenhum dos pontos satisfaz a equação do plano, mas como a reta não é paralela, ela deve interceptar o plano em um único ponto.

**Resposta: D**

A reta $ r $ intercepta o plano $ a $ em um único ponto.