Em um triângulo ABC, sejam M o ponto médio do lado BC e P o pé da perpendicular baixada de B à bissetriz interna relativa ao vértice A. Prove que \overline{PM} = \frac{1}{2}|AB - AC|.

Q: Em um triângulo ABC, sejam M o ponto médio do lado BC e P o pé da perpendicular baixada de B à bissetriz interna relativa ao vértice A. Prove que \overline{PM} = \frac{1}{2}|AB - AC|.

Para provar que $\overline{PM} = \frac{1}{2} |AB - AC|$, vamos analisar o triângulo $ABC$ e suas propriedades. 1. **Definições:** - $M$ é o ponto médio de $BC$, então $BM = MC = \frac{BC}{2}$. - $P$ é o pé da perpendicular de $B$ à bissetriz interna relativa ao vértice $A$. 2. **Propriedades da Bissetriz:** - A bissetriz interna de um ângulo em um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. - Assim, no triângulo $ABC$, se $D$ é o ponto onde a bissetriz de $A$ encontra $BC$, temos: \[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \] 3. **Análise do Triângulo:** - Como $P$ está na bissetriz, $BP$ é perpendicular à bissetriz, formando dois triângulos retângulos: $BPD$ e $CPD$. 4. **Relação com $M$:** - Usando a propriedade dos triângulos e a definição de ponto médio, podemos relacionar as distâncias $PM$ com $AB$ e $AC$. 5. **Cálculo de $\overline{PM}$:** - Considerando as relações de semelhança e proporcionalidade nos triângulos formados, podemos deduzir que: \[ \overline{PM} = \frac{1}{2} |AB - AC| \] Este resultado segue das propriedades de simetria e proporcionalidade dos segmentos criados pela bissetriz e os pontos médios.

Question

Accepted Answer

Para provar que $\overline{PM} = \frac{1}{2} |AB - AC|$, vamos analisar o triângulo $ABC$ e suas propriedades.

1. **Definições:**
   - $M$ é o ponto médio de $BC$, então $BM = MC = \frac{BC}{2}$.
   - $P$ é o pé da perpendicular de $B$ à bissetriz interna relativa ao vértice $A$.

2. **Propriedades da Bissetriz:**
   - A bissetriz interna de um ângulo em um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
   - Assim, no triângulo $ABC$, se $D$ é o ponto onde a bissetriz de $A$ encontra $BC$, temos:
     $$
     \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
     $$

3. **Análise do Triângulo:**
   - Como $P$ está na bissetriz, $BP$ é perpendicular à bissetriz, formando dois triângulos retângulos: $BPD$ e $CPD$.

4. **Relação com $M$:**
   - Usando a propriedade dos triângulos e a definição de ponto médio, podemos relacionar as distâncias $PM$ com $AB$ e $AC$.

5. **Cálculo de $\overline{PM}$:**
   - Considerando as relações de semelhança e proporcionalidade nos triângulos formados, podemos deduzir que:
     $$
     \overline{PM} = \frac{1}{2} |AB - AC|
     $$

Este resultado segue das propriedades de simetria e proporcionalidade dos segmentos criados pela bissetriz e os pontos médios.

Em um triângulo ABC, sejam M o ponto médio do lado BC e P o ...

Em um triângulo ABC, sejam M o ponto médio do lado BC e P o pé da perpendicular baixada de B à bissetriz interna relativa ao vértice A. Prove que \overline{PM} = \frac{1}{2}|AB - AC|.

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