Em um triângulo retangular tem hipotenusa de 60 cm e a projeção de um dos catetos sobre ela mede 48 cm calcule a medida da altura relativa ao hipotenusa

Question

Accepted Answer

Para calcular a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, quando conhecemos a medida da hipotenusa e a projeção de um dos catetos sobre ela, podemos usar o Teorema de Pitágoras e as propriedades dos triângulos semelhantes.

Vamos chamar:
- $h$ a altura relativa à hipotenusa,
- $c_1$ e $c_2$ os catetos do triângulo retângulo, onde $c_1$ é o cateto que tem sua projeção de 48 cm sobre a hipotenusa,
- $H$ a hipotenusa, que mede 60 cm.

A altura $h$ divide a hipotenusa em duas partes. Vamos chamar essas partes de $d_1$ e $d_2$, onde $d_1$ é a distância da projeção do cateto $c_1$ até um extremo da hipotenusa, e $d_2$ é a distância do outro extremo até a projeção. Assim, $d_1 + d_2 = H$.

Um resultado importante da geometria é que a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é a média geométrica das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Além disso, a altura também é a média geométrica entre as partes da hipotenusa que ela divide, ou seja:

$$h = \sqrt{d_1 \cdot d_2}$$

Também sabemos que o produto dos segmentos das hipotenusas (partes em que a altura divide a hipotenusa) é igual ao quadrado da altura projetada do vértice do ângulo reto sobre a hipotenusa. Ou seja:

$$d_1 \cdot d_2 = h^2$$

Mas para encontrar $d_1$ e $d_2$, precisamos de mais uma relação. Sabemos que $c_1$ é um dos catetos, e sua projeção sobre a hipotenusa é 48 cm. O outro cateto, que vamos encontrar, junto com a altura forma um triângulo retângulo menor, semelhante ao original.

Para encontrar $c_2$ (o outro cateto), podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo inteiro:

$$c_1^2 + c_2^2 = H^2$$

Nós não temos $c_1$ ou $c_2$, mas podemos usar a relação entre a altura, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa, e os segmentos da hipotenusa cortados pela altura. A altura relativa à hipotenusa também pode ser calculada usando a fórmula da área do triângulo de duas maneiras diferentes: pela base vezes altura dividido por dois e pelo produto dos catetos dividido por dois. Como a área do triângulo é a mesma, temos:

$$A = \frac{c_1 \cdot c_2}{2} = \frac{H \cdot h}{2}$$

Substituindo $H = 60$ cm e rearranjando a fórmula, encontramos:

$$h = \frac{c_1 \cdot c_2}{H}$$

Neste ponto, percebemos que precisamos de mais informações específicas ou revisar a abordagem para resolver diretamente sem conhecer $c_1$ e $c_2$. A relação correta que nos permite encontrar $h$ sem conhecer $c_1$ ou $c_2$ diretamente envolve entender que, na verdade, a altura é a média geométrica das projeções dos catetos sobre a hipotenusa (como mencionado inicialmente) e que podemos encontrar $c_2$ usando o teorema de Pitágoras. Porém, cometemos um equívoco ao não aplicar diretamente uma fórmula útil para este caso específico.

Dado que a projeção de $c_1$ é 48 cm, e sabendo que a altura em relação à hipotenusa forma triângulos semelhantes com o triângulo original e entre si, podemos usar a propriedade de que a altura é a média geométrica das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. No entanto, sem a medida direta de $c_1$ ou $c_2$, não podemos prosseguir diretamente daqui sem assumir ou calcular essas medidas.

A chave para resolver o problema diretamente estava na aplicação correta e na interpretação das relações entre as medidas conhecidas e a altura desejada. Para uma solução direta, precisaríamos reavaliar as informações disponíveis e aplicar corretamente as relações geométricas específicas para esse tipo de problema.

Em um triângulo retangular tem hipotenusa de 60 cm e a proje...

Em um triângulo retangular tem hipotenusa de 60 cm e a projeção de um dos catetos sobre ela mede 48 cm calcule a medida da altura relativa ao hipotenusa

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