Em uma certa cultura, a razão de crescimento de bactéria é proporcional à quantidade presente a cada instante. Se existem 1.000 bactérias presentes inicialmente e a quantidade dobra em 12 minutos, quanto tempo levará para aparecerem 1.000 .000 de bactérias na cultura?
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Aluno
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13/05/24

Question

Em uma certa cultura, a razão de crescimento de bactéria é proporcional à quantidade presente a cada instante. Se existem 1.000 bactérias presentes inicialmente e a quantidade dobra em 12 minutos, quanto tempo levará para aparecerem 1.000 .000 de bactérias na cultura?

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13/05/24

Accepted Answer

Para resolver este problema, podemos usar a equação de crescimento exponencial, que é dada por:

$$ P(t) = P_0 \cdot e^{rt} $$

Onde:
- $P(t)$ é a quantidade de bactérias no tempo $t$,
- $P_0$ é a quantidade inicial de bactérias,
- $r$ é a taxa de crescimento proporcional, e
- $e$ é a base do logaritmo natural (aproximadamente igual a 2.71828).

Dado que a quantidade de bactérias dobra (ou seja, $P(t) = 2P_0$) em 12 minutos, podemos usar essas informações para encontrar a taxa de crescimento $r$. Assumindo que $P_0 = 1000$ bactérias, temos:

$$ 2P_0 = P_0 \cdot e^{12r} $$

Dividindo ambos os lados por $P_0$, obtemos:

$$ 2 = e^{12r} $$

Tomando o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para $r$, temos:

$$ \ln(2) = 12r $$

$$ r = \frac{\ln(2)}{12} $$

Agora, queremos encontrar o tempo necessário para que a população de bactérias cresça até 1.000.000 ($P(t) = 1000000$). Usando a equação de crescimento exponencial com $P_0 = 1000$, temos:

$$ 1000000 = 1000 \cdot e^{\left(\frac{\ln(2)}{12}\right)t} $$

Dividindo ambos os lados por 1000, obtemos:

$$ 1000 = e^{\left(\frac{\ln(2)}{12}\right)t} $$

Aplicando o logaritmo natural a ambos os lados:

$$ \ln(1000) = \left(\frac{\ln(2)}{12}\right)t $$

Resolvendo para $t$:

$$ t = \frac{12 \cdot \ln(1000)}{\ln(2)} $$

Simplificando:

$$ t = \frac{12 \cdot \ln(10^3)}{\ln(2)} $$

$$ t = \frac{12 \cdot 3 \cdot \ln(10)}{\ln(2)} $$

$$ t = \frac{36 \cdot \ln(10)}{\ln(2)} $$

Usando as propriedades dos logaritmos e sabendo que $\ln(10) \approx 2.3026$ e $\ln(2) \approx 0.6931$, substituímos esses valores na equação:

$$ t \approx \frac{36 \cdot 2.3026}{0.6931} $$

$$ t \approx \frac{82.8936}{0.6931} $$

$$ t \approx 119.661 $$

Portanto, levará aproximadamente 119.661 minutos para que a quantidade de bactérias cresça de 1.000 para 1.000.000 na cultura.