Em uma circunferência de diâmetro igual a 3 , um segmento AC , chamado de corda , forma um ângulo de 90 com outra corda CB , de mesmo comprimento. Qual a medida de cada corda ?

Question

Em uma circunferência de diâmetro igual a 3 , um segmento AC , chamado de corda , forma um ângulo de 90 com outra corda CB , de mesmo comprimento.  Qual a medida de cada corda ?

Accepted Answer

Para resolver este problema, podemos usar a propriedade de que o triângulo formado pelas duas cordas e o diâmetro da circunferência é retângulo. Isso ocorre porque um ângulo inscrito que intercepta o diâmetro de uma circunferência é sempre um ângulo reto.

Dado que o diâmetro da circunferência é igual a 3, o raio ($r$) é igual a $\frac{3}{2}$.

O triângulo formado pelas cordas $AC$ e $CB$, e o diâmetro como hipotenusa, é um triângulo retângulo, com $AC = CB$ (pois as cordas têm o mesmo comprimento) e o ângulo entre $AC$ e $CB$ é de 90 graus.

Vamos chamar o comprimento das cordas de $x$. Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo $ABC$, onde $AB$ é o diâmetro da circunferência, temos:

$$AB^2 = AC^2 + CB^2$$

Substituindo os valores conhecidos:

$$(3)^2 = x^2 + x^2$$
$$9 = 2x^2$$
$$x^2 = \frac{9}{2}$$
$$x = \sqrt{\frac{9}{2}}$$
$$x = \frac{3}{\sqrt{2}}$$
$$x = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Portanto, a medida de cada corda é $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

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Em uma circunferência de diâmetro igual a 3 , um segmento AC , chamado de corda , forma um ângulo de 90 com outra corda CB , de mesmo comprimento. Qual a medida de cada corda ?

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