Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andreia, que vive brigando com Manoel e
Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro
se relacione bem com todos os outros. Nessas condições, quantas comissões poderão ser formadas?

Question

Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andreia, que vive brigando com Manoel e 
Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro 
se relacione bem com todos os outros. Nessas condições, quantas comissões poderão ser formadas?

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos selecionar uma comissão de cinco alunos, garantindo que todos os membros se relacionem bem entre si. Sabemos que Andreia não se dá bem com Manoel e Alberto, o que significa que não podemos ter Andreia na mesma comissão que Manoel ou Alberto.

Vamos analisar as possibilidades:

1. **Andreia não participa da comissão:**
   - Se Andreia não participa, podemos escolher livremente qualquer combinação dos outros 8 alunos (excluindo Andreia), já que todos se dão bem entre si.
   - Número de maneiras de escolher 5 alunos de 8: $\binom{8}{5}$.

2. **Andreia participa da comissão:**
   - Se Andreia participa, então nem Manoel nem Alberto podem estar na comissão.
   - Portanto, escolhemos os 4 membros restantes da comissão entre os 6 alunos restantes (excluindo Manoel e Alberto).
   - Número de maneiras de escolher 4 alunos de 6: $\binom{6}{4}$.

Agora, calculamos cada caso:

1. $\binom{8}{5} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.

2. $\binom{6}{4} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

Portanto, o número total de comissões possíveis é a soma das duas situações:

$$ 56 + 15 = 71 $$

Assim, o número total de comissões que podem ser formadas é **71**.

Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de ...

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