Em uma dada região, o campo magnético vale $ \mathbf{B} = \frac{\phi}{r^2} \hat{\phi} $. Qual das alternativas expressa um possível potencial vetorial que gera esse campo magnético? Dica: utilize o rotacional em coordenadas esféricas e o resultado será praticamente direto.

Q: Em uma dada região, o campo magnético vale $ \mathbf{B} = \frac{\phi}{r^2} \hat{\phi} $. Qual das alternativas expressa um possível potencial vetorial que gera esse campo magnético? Dica: utilize o rotacional em coordenadas esféricas e o resultado será praticamente direto.

Para determinar o potencial vetor $\vec{A}$ que gera o campo magnético $\vec{B} = \frac{\hat{\phi}}{r^2}$, devemos usar a relação entre o campo magnético e o potencial vetor, que é dada pelo rotacional: \[ \vec{B} = \nabla \times \vec{A} \] Nas coordenadas esféricas, o rotacional de um vetor $\vec{A} = A_r \hat{r} + A_\theta \hat{\theta} + A_\phi \hat{\phi}$ é: \[ \nabla \times \vec{A} = \frac{1}{r \sin \theta} \begin{vmatrix} \hat{r} & r \hat{\theta} & r \sin \theta \hat{\phi} \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \phi} \\ A_r & r A_\theta & r \sin \theta A_\phi \end{vmatrix} \] Queremos que $\vec{B} = \frac{\hat{\phi}}{r^2}$. Analisando as opções, verificamos qual delas satisfaz essa condição. Ao calcular o rotacional, a opção que satisfaz $\vec{B} = \frac{\hat{\phi}}{r^2}$ é: **Resposta: D** $\vec{A} = -\frac{\theta}{r} \hat{\phi}$ gera o campo magnético desejado ao calcular o rotacional.

Question

Accepted Answer

Para determinar o potencial vetor $\vec{A}$ que gera o campo magnético $\vec{B} = \frac{\hat{\phi}}{r^2}$, devemos usar a relação entre o campo magnético e o potencial vetor, que é dada pelo rotacional:

$$
\vec{B} = \nabla \times \vec{A}
$$

Nas coordenadas esféricas, o rotacional de um vetor $\vec{A} = A_r \hat{r} + A_\theta \hat{\theta} + A_\phi \hat{\phi}$ é:

$$
\nabla \times \vec{A} = \frac{1}{r \sin \theta} \begin{vmatrix}
\hat{r} & r \hat{\theta} & r \sin \theta \hat{\phi} \
\frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \phi} \
A_r & r A_\theta & r \sin \theta A_\phi
\end{vmatrix}
$$

Queremos que $\vec{B} = \frac{\hat{\phi}}{r^2}$. Analisando as opções, verificamos qual delas satisfaz essa condição.

Ao calcular o rotacional, a opção que satisfaz $\vec{B} = \frac{\hat{\phi}}{r^2}$ é:

**Resposta: D**

$\vec{A} = -\frac{\theta}{r} \hat{\phi}$ gera o campo magnético desejado ao calcular o rotacional.

Em uma dada região, o campo magnético vale . Qual das altern...

Em uma dada região, o campo magnético vale $\mathbf{B} = \frac{\phi}{r^2} \hat{\phi}$ . Qual das alternativas expressa um possível potencial vetorial que gera esse campo magnético? Dica: utilize o rotacional em coordenadas esféricas e o resultado será praticamente direto.

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Em uma dada região, o campo magnético vale . Qual das altern...

Em uma dada região, o campo magnético vale B=ϕr2ϕ^\mathbf{B} = \frac{\phi}{r^2} \hat{\phi}B=r2ϕ​ϕ^​. Qual das alternativas expressa um possível potencial vetorial que gera esse campo magnético? Dica: utilize o rotacional em coordenadas esféricas e o resultado será praticamente direto.

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Em uma dada região, o campo magnético vale $\mathbf{B} = \frac{\phi}{r^2} \hat{\phi}$ . Qual das alternativas expressa um possível potencial vetorial que gera esse campo magnético? Dica: utilize o rotacional em coordenadas esféricas e o resultado será praticamente direto.