Em uma pirâmide regular, a aresta da base mede 4 cm e a aresta lateral mede 5 cm. Determine a altura h, no caso de a pirâmide ser:
a) quadrangular;
b) triangular;
c) hexagonal.

Q: Em uma pirâmide regular, a aresta da base mede 4 cm e a aresta lateral mede 5 cm. Determine a altura h, no caso de a pirâmide ser: a) quadrangular; b) triangular; c) hexagonal.

Para resolver o problema, precisamos calcular a altura $ h $ da pirâmide regular em cada caso. Vamos usar o teorema de Pitágoras nas seções verticais que passam pelo centro da base e pelo vértice da pirâmide. ### a) Pirâmide quadrangular - Aresta da base: 4 cm - Aresta lateral: 5 cm A altura da pirâmide, a apótema da base, e a aresta lateral formam um triângulo retângulo. A apótema da base (metade da diagonal do quadrado) é calculada como: \[ \text{Apótema da base} = \frac{\sqrt{2} \times 4}{2} = 2\sqrt{2} \, \text{cm} \] Aplicando o teorema de Pitágoras: \[ h^2 + (2\sqrt{2})^2 = 5^2 \] \[ h^2 + 8 = 25 \] \[ h^2 = 17 \] \[ h = \sqrt{17} \, \text{cm} \] ### b) Pirâmide triangular - Aresta da base: 4 cm - Aresta lateral: 5 cm O triângulo é equilátero, então a apótema da base é: \[ \text{Apótema da base} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3} \, \text{cm} \] Aplicando o teorema de Pitágoras: \[ h^2 + (2\sqrt{3})^2 = 5^2 \] \[ h^2 + 12 = 25 \] \[ h^2 = 13 \] \[ h = \sqrt{13} \, \text{cm} \] ### c) Pirâmide hexagonal - Aresta da base: 4 cm - Aresta lateral: 5 cm A apótema da base para um hexágono regular é igual ao lado: \[ \text{Apótema da base} = 4 \, \text{cm} \] Aplicando o teorema de Pitágoras: \[ h^2 + 4^2 = 5^2 \] \[ h^2 + 16 = 25 \] \[ h^2 = 9 \] \[ h = 3 \, \text{cm} \] Portanto, as alturas são: - a) $ \sqrt{17} \, \text{cm} $ - b) $ \sqrt{13} \, \text{cm} $ - c) $ 3 \, \text{cm} $

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos calcular a altura $ h $ da pirâmide regular em cada caso. Vamos usar o teorema de Pitágoras nas seções verticais que passam pelo centro da base e pelo vértice da pirâmide.

### a) Pirâmide quadrangular

- Aresta da base: 4 cm
- Aresta lateral: 5 cm

A altura da pirâmide, a apótema da base, e a aresta lateral formam um triângulo retângulo. A apótema da base (metade da diagonal do quadrado) é calculada como:

$$
\text{Apótema da base} = \frac{\sqrt{2} \times 4}{2} = 2\sqrt{2} \, \text{cm}
$$

Aplicando o teorema de Pitágoras:

$$
h^2 + (2\sqrt{2})^2 = 5^2
$$

$$
h^2 + 8 = 25
$$

$$
h^2 = 17
$$

$$
h = \sqrt{17} \, \text{cm}
$$

### b) Pirâmide triangular

- Aresta da base: 4 cm
- Aresta lateral: 5 cm

O triângulo é equilátero, então a apótema da base é:

$$
\text{Apótema da base} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3} \, \text{cm}
$$

Aplicando o teorema de Pitágoras:

$$
h^2 + (2\sqrt{3})^2 = 5^2
$$

$$
h^2 + 12 = 25
$$

$$
h^2 = 13
$$

$$
h = \sqrt{13} \, \text{cm}
$$

### c) Pirâmide hexagonal

- Aresta da base: 4 cm
- Aresta lateral: 5 cm

A apótema da base para um hexágono regular é igual ao lado:

$$
\text{Apótema da base} = 4 \, \text{cm}
$$

Aplicando o teorema de Pitágoras:

$$
h^2 + 4^2 = 5^2
$$

$$
h^2 + 16 = 25
$$

$$
h^2 = 9
$$

$$
h = 3 \, \text{cm}
$$

Portanto, as alturas são:
- a) $ \sqrt{17} \, \text{cm} $
- b) $ \sqrt{13} \, \text{cm} $
- c) $ 3 \, \text{cm} $

Em uma pirâmide regular, a aresta da base mede 4 cm e a ares...

Em uma pirâmide regular, a aresta da base mede 4 cm e a aresta lateral mede 5 cm. Determine a altura h, no caso de a pirâmide ser: a) quadrangular; b) triangular; c) hexagonal.

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