Em uma sala, 10 pessoas estão usando
emblemas numerados de 1 até 10. Três pessoas são
escolhidas ao acaso e convidadas a sair da sala
simultaneamente. O número de seu emblema é
anotado. Calcule:
a) Qual a probabilidade de que o menor
número de emblema seja 5?
b) Qual a probabilidade de que o maior número
de emblema seja 5?
c) Qual a probabilidade de serem anotados
somente emblemas de número ímpar?
d) Qual a probabilidade de serem anotados
somente emblemas de números primo?

Question

Em uma sala, 10 pessoas estão usando
emblemas numerados de 1 até 10. Três pessoas são
escolhidas ao acaso e convidadas a sair da sala
simultaneamente. O número de seu emblema é
anotado. Calcule:
a) Qual a probabilidade de que o menor
número de emblema seja 5?
b) Qual a probabilidade de que o maior número
de emblema seja 5?
c) Qual a probabilidade de serem anotados
somente emblemas de número ímpar?
d) Qual a probabilidade de serem anotados
somente emblemas de números primo?

Accepted Answer

Para resolver esse problema, vamos calcular as probabilidades usando combinações.

### a) Probabilidade de que o menor número de emblema seja 5

Se o menor número é 5, então os outros dois números devem ser escolhidos entre 6 e 10. Temos que escolher 2 números de um total de 5 (6, 7, 8, 9, 10).

Número de formas de escolher 2 números entre 6 e 10:
$$
\binom{5}{2} = 10
$$

Número total de maneiras de escolher 3 pessoas de 10:
$$
\binom{10}{3} = 120
$$

Portanto, a probabilidade é:
$$
\frac{\binom{5}{2}}{\binom{10}{3}} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}
$$

### b) Probabilidade de que o maior número de emblema seja 5

Se o maior número é 5, então os outros dois números devem ser escolhidos entre 1 e 4. Temos que escolher 2 números de um total de 4 (1, 2, 3, 4).

Número de formas de escolher 2 números entre 1 e 4:
$$
\binom{4}{2} = 6
$$

Portanto, a probabilidade é:
$$
\frac{\binom{4}{2}}{\binom{10}{3}} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}
$$

### c) Probabilidade de serem anotados somente emblemas de número ímpar

Os números ímpares entre 1 e 10 são: 1, 3, 5, 7, 9. Temos que escolher 3 números de um total de 5 números ímpares.

Número de formas de escolher 3 números ímpares:
$$
\binom{5}{3} = 10
$$

Portanto, a probabilidade é:
$$
\frac{\binom{5}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}
$$

### d) Probabilidade de serem anotados somente emblemas de números primos

Os números primos entre 1 e 10 são: 2, 3, 5, 7. Temos que escolher 3 números de um total de 4 números primos.

Número de formas de escolher 3 números primos:
$$
\binom{4}{3} = 4
$$

Portanto, a probabilidade é:
$$
\frac{\binom{4}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}
$$

Resumindo:

a) $\frac{1}{12}$

b) $\frac{1}{20}$

c) $\frac{1}{12}$

d) $\frac{1}{30}$

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