Encontrar os números al e a2 tais que v = a_{1}*v_{1} + a_{2}*v_{2} sendo v = (10, 2) v_{1} = (3.5) , V2 =(-1,2).
A
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14/05/24

Q: Encontrar os números al e a2 tais que v = a_{1}*v_{1} + a_{2}*v_{2} sendo v = (10, 2) v_{1} = (3.5) , V2 =(-1,2).

Para encontrar os números $a_1$ e $a_2$ tais que $ \mathbf{v} = a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 $, onde $\mathbf{v} = (10, 2)$, $\mathbf{v}_1 = (3, 5)$ e $\mathbf{v}_2 = (-1, 2)$, podemos resolver um sistema de equações lineares. Escrevemos o vetor $\mathbf{v}$ como uma combinação linear dos vetores $\mathbf{v}_1$ e $\mathbf{v}_2$: \[ (10, 2) = a_1 (3, 5) + a_2 (-1, 2) \] Isso resulta em duas equações: \[ 10 = 3a_1 - a_2 \] \[ 2 = 5a_1 + 2a_2 \] Vamos resolver esse sistema de equações: 1. Da primeira equação, isolamos $a_2$: \[ a_2 = 3a_1 - 10 \] 2. Substituímos $a_2$ na segunda equação: \[ 2 = 5a_1 + 2(3a_1 - 10) \] \[ 2 = 5a_1 + 6a_1 - 20 \] \[ 2 = 11a_1 - 20 \] \[ 22 = 11a_1 \] \[ a_1 = 2 \] 3. Agora substituímos $a_1$ na equação $a_2 = 3a_1 - 10$: \[ a_2 = 3(2) - 10 \] \[ a_2 = 6 - 10 \] \[ a_2 = -4 \] Portanto, os valores são: \[ a_1 = 2 \] \[ a_2 = -4 \] Então, os números $a_1$ e $a_2$ são: \[ \boxed{a_1 = 2, \, a_2 = -4} \]

Question

Encontrar os números al e a2 tais que v = a_{1}*v_{1} + a_{2}*v_{2} sendo v = (10, 2) v_{1} = (3.5) , V2 =(-1,2).

Accepted Answer

Para encontrar os números $a_1$ e $a_2$ tais que $ \mathbf{v} = a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 $, onde $\mathbf{v} = (10, 2)$, $\mathbf{v}_1 = (3, 5)$ e $\mathbf{v}_2 = (-1, 2)$, podemos resolver um sistema de equações lineares.

Escrevemos o vetor $\mathbf{v}$ como uma combinação linear dos vetores $\mathbf{v}_1$ e $\mathbf{v}_2$:

$$ (10, 2) = a_1 (3, 5) + a_2 (-1, 2) $$

Isso resulta em duas equações:

$$ 10 = 3a_1 - a_2 $$
$$ 2 = 5a_1 + 2a_2 $$

Vamos resolver esse sistema de equações:

1. Da primeira equação, isolamos $a_2$:

$$ a_2 = 3a_1 - 10 $$

2. Substituímos $a_2$ na segunda equação:

$$ 2 = 5a_1 + 2(3a_1 - 10) $$
$$ 2 = 5a_1 + 6a_1 - 20 $$
$$ 2 = 11a_1 - 20 $$
$$ 22 = 11a_1 $$
$$ a_1 = 2 $$

3. Agora substituímos $a_1$ na equação $a_2 = 3a_1 - 10$:

$$ a_2 = 3(2) - 10 $$
$$ a_2 = 6 - 10 $$
$$ a_2 = -4 $$

Portanto, os valores são:

$$ a_1 = 2 $$
$$ a_2 = -4 $$

Então, os números $a_1$ e $a_2$ são:
$$ \boxed{a_1 = 2, \, a_2 = -4} $$