Encontrar uma expressão algébrica que diz que o ponto P(x,y) é equidistante dos pontos (-3,5)e(7,-9).

Resp: 5x-7y=24

Question

Encontrar uma expressão algébrica que diz que o ponto P(x,y) é equidistante dos pontos (-3,5)e(7,-9).

Resp: 5x-7y=24

Accepted Answer

Para encontrar uma expressão algébrica que indique que o ponto $P(x, y)$ é equidistante dos pontos $A(-3, 5)$ e $B(7, -9)$, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. A distância $d$ entre dois pontos $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ é dada por:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Queremos que a distância de $P(x, y)$ a $A(-3, 5)$ seja igual à distância de $P(x, y)$ a $B(7, -9)$. Assim, configuramos a seguinte equação, onde $PA$ é a distância de $P$ a $A$ e $PB$ é a distância de $P$ a $B$:

$$PA = PB$$

Substituindo pelas fórmulas das distâncias, temos:

$$\sqrt{(x + 3)^2 + (y - 5)^2} = \sqrt{(x - 7)^2 + (y + 9)^2}$$

Elevamos ambos os lados ao quadrado para remover a raiz quadrada:

$$(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = (x - 7)^2 + (y + 9)^2$$

Expandindo as expressões:

$$x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 = x^2 - 14x + 49 + y^2 + 18y + 81$$

Simplificando e agrupando termos semelhantes:

$$x^2 + y^2 + 6x - 10y + 34 = x^2 + y^2 - 14x + 18y + 130$$

$$20x - 28y = 96$$

Dividindo todos os termos por 4 para simplificar a expressão:

$$5x - 7y = 24$$

Portanto, a expressão algébrica que indica que o ponto $P(x, y)$ é equidistante dos pontos $(-3, 5)$ e $(7, -9)$ é $5x - 7y = 24$, conforme solicitado.

Encontrar uma expressão algébrica que diz que o ponto P(x,y)...

Encontrar uma expressão algébrica que diz que o ponto P(x,y) é equidistante dos pontos (-3,5)e(7,-9).

Resp: 5x-7y=24

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