Encontre um limitante superior para o erro ao aproximar f(x) = ex, para x ∈ [−1, 1], pelo polinˆomio
de Taylor de grau 3 expandido em torno de a = 0

Question

Encontre um limitante superior para o erro ao aproximar f(x) = ex, para x ∈ [−1, 1], pelo polinˆomio
de Taylor de grau 3 expandido em torno de a = 0

Accepted Answer

Para encontrar um limitante superior para o erro ao aproximar $ f(x) = e^x $ pelo polinômio de Taylor de grau 3 expandido em torno de $ a = 0 $, utilizamos o termo do resto da fórmula de Taylor, conhecido como o Teorema de Taylor-Lagrange. Este termo nos dá uma estimativa do erro de truncamento.

O polinômio de Taylor de grau 3 para $ f(x) = e^x $ em torno de $ a = 0 $ é dado por:

$$
P_3(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}
$$

O erro de truncamento $ R_3(x) $ é dado pela fórmula:

$$
R_3(x) = \frac{f^{(4)}(c)}{4!} x^4
$$

onde $ c $ é algum ponto no intervalo entre 0 e $ x $. Para $ f(x) = e^x $, todas as derivadas são $ f^{(n)}(x) = e^x $. Portanto, a quarta derivada é $ f^{(4)}(x) = e^x $.

Para encontrar um limitante superior para o erro no intervalo $ x \in [-1, 1] $, precisamos maximizar $ e^c $ no intervalo $ c \in [-1, 1] $. O máximo de $ e^c $ ocorre em $ c = 1 $, então $ e^c \leq e $.

Portanto, o erro máximo é:

$$
|R_3(x)| \leq \frac{e}{4!} |x|^4
$$

Calculando $ 4! = 24 $, temos:

$$
|R_3(x)| \leq \frac{e}{24} |x|^4
$$

No intervalo $ x \in [-1, 1] $, o valor máximo de $ |x|^4 $ é 1. Assim, o limitante superior para o erro é:

$$
|R_3(x)| \leq \frac{e}{24}
$$

Portanto, o limitante superior para o erro ao aproximar $ f(x) = e^x $ pelo polinômio de Taylor de grau 3 em $ x \in [-1, 1] $ é $ \frac{e}{24} $.

Encontre um limitante superior para o erro ao aproximar f(x) = ex, para x ∈ [−1, 1], pelo polinˆomio de Taylor de grau 3 expandido em torno de a = 0