(ENEM – 2016) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t)=–2t2+120t (em que t é expresso em dia e t=0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.

A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.

A segunda dedetização começou no

20º dia.

29º dia.

60º dia.

30º dia.

19º dia.

Question

(ENEM – 2016) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t)=–2t2+120t (em que t é expresso em dia e t=0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.

A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.

A segunda dedetização começou no

20º dia.

29º dia.

60º dia.

30º dia.

19º dia.

Accepted Answer

**Resposta: 30º dia.**

Para determinar o dia em que o número de infectados chega a 1600, precisamos resolver a equação $f(t) = -2t^2 + 120t = 1600$.

1. Primeiro, rearranjamos a equação para igualar a zero:
   $$
   -2t^2 + 120t - 1600 = 0
   $$

2. Podemos simplificar dividindo toda a equação por -2:
   $$
   t^2 - 60t + 800 = 0
   $$

3. Agora, usamos a fórmula quadrática para encontrar os valores de $t$:
   $$
   t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   onde $a = 1$, $b = -60$, $c = 800$.

4. Calculando o discriminante:
   $$
   b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 800 = 3600 - 3200 = 400
   $$

5. Continuando com a fórmula quadrática:
   $$
   t = \frac{60 \pm \sqrt{400}}{2}
   $$
   $$
   t = \frac{60 \pm 20}{2}
   $$

6. Isso nos dá duas soluções:
   $$
   t_1 = \frac{60 + 20}{2} = 40
   $$
   $$
   t_2 = \frac{60 - 20}{2} = 20
   $$

Portanto, o número de infectados atinge 1600 no 20º dia. Contudo, a segunda dedetização ocorreu no próximo dia em que o número de infectados atingiu novamente 1600, que é o 30º dia.

(ENEM – 2016) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúd...

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