Escolha a alternativa que seja o cálculo correto da integral dupla:

∫_{0}^{2π} ∫_{0}^{r} r dr dθ

Question

Escolha a alternativa que seja o cálculo correto da integral dupla:

∫_{0}^{2π} ∫_{0}^{r} r dr dθ

Accepted Answer

Parece que a imagem está mostrando uma integral dupla em coordenadas polares. A integral é:

$$
\int_0^{2\pi} \int_0^1 r \, dr \, d\theta
$$

Para resolver essa integral, primeiro integramos em relação a $r$:

$$
\int_0^1 r \, dr = \left[\frac{r^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}
$$

Agora, integramos em relação a $\theta$:

$$
\int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \left[\theta\right]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} (2\pi - 0) = \pi
$$

Portanto, o valor da integral dupla é $\pi$.

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