Escolha a alternativa que seja o cálculo correto da integral dupla:
∫∫ r dr dθ
7 2π
π

Q: Escolha a alternativa que seja o cálculo correto da integral dupla: ∫∫ r dr dθ 7 2π π

Para resolver a integral dupla $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} r \, dr \, d\theta$, vamos calcular passo a passo: 1. **Integração em relação a $r$:** \[ \int_{0}^{2\pi} r \, dr = \left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{2\pi} = \frac{(2\pi)^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4\pi^2}{2} = 2\pi^2 \] 2. **Integração em relação a $\theta$:** Agora, integramos $2\pi^2$ em relação a $\theta$ de $\frac{\pi}{4}$ a $\pi$: \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} 2\pi^2 \, d\theta = 2\pi^2 \left[\theta\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} = 2\pi^2 \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = 2\pi^2 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{6\pi^3}{4} = \frac{3\pi^3}{2} \] **Resposta: B** Portanto, o cálculo correto da integral dupla é $\frac{3\pi^3}{2}$.

Question

Accepted Answer

Para resolver a integral dupla $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} r \, dr \, d\theta$, vamos calcular passo a passo:

1. **Integração em relação a $r$:**

$$
\int_{0}^{2\pi} r \, dr = \left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{2\pi} = \frac{(2\pi)^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4\pi^2}{2} = 2\pi^2
$$

2. **Integração em relação a $\theta$:**

Agora, integramos $2\pi^2$ em relação a $\theta$ de $\frac{\pi}{4}$ a $\pi$:

$$
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} 2\pi^2 \, d\theta = 2\pi^2 \left[\theta\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} = 2\pi^2 \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = 2\pi^2 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{6\pi^3}{4} = \frac{3\pi^3}{2}
$$

**Resposta: B**

Portanto, o cálculo correto da integral dupla é $\frac{3\pi^3}{2}$.

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Escolha a alternativa que seja o cálculo correto da integral dupla: ∫∫ r dr dθ 7 2π π

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