Escreva as equações paramétrica da circunferência $ x^{2}+y^{2}-x+3 y-2=0 $.

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Para determinar as equações paramétricas da circunferência dada pela equação $ x^2 + y^2 - x + 3y - 2 = 0 $, primeiro precisamos reescrever a equação na forma padrão de uma circunferência, que é $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$.

Vamos completar o quadrado para os termos em $ x $ e $ y $:

1. Reescrever a equação original:
   $$
   x^2 + y^2 - x + 3y - 2 = 0
   $$

2. Completar o quadrado para $ x $:
   $$
   x^2 - x = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}
   $$

3. Completar o quadrado para $ y $:
   $$
   y^2 + 3y = (y + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}
   $$

4. Substituir essas expressões na equação original:
   $$
   (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - 2 = 0
   $$

5. Simplificar a equação:
   $$
   (x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4} - \frac{9}{4} - 2 = 0
   $$
   $$
   (x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{3}{2})^2 - \frac{10}{4} - 2 = 0
   $$
   $$
   (x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{3}{2})^2 - \frac{10}{4} - \frac{8}{4} = 0
   $$
   $$
   (x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{3}{2})^2 - \frac{18}{4} = 0
   $$
   $$
   (x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{3}{2})^2 = \frac{18}{4}
   $$
   $$
   (x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{3}{2})^2 = \frac{9}{2}
   $$

Agora que temos a equação da circunferência na forma padrão $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, onde $ h = \frac{1}{2} $, $ k = -\frac{3}{2} $, e $ r^2 = \frac{9}{2} $, podemos escrever as equações paramétricas.

As equações paramétricas de uma circunferência são dadas por:
$$
x = h + r \cos(t)
$$
$$
y = k + r \sin(t)
$$

Substituindo os valores de $ h $, $ k $, e $ r $:
$$
x = \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{9}{2}} \cos(t)
$$
$$
y = -\frac{3}{2} + \sqrt{\frac{9}{2}} \sin(t)
$$

Simplificando a raiz quadrada:
$$
\sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}
$$

Portanto, as equações paramétricas finais são:
$$
x = \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} \cos(t)
$$
$$
y = -\frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} \sin(t)
$$

onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.

Escreva as equações paramétrica da circunferência .

Escreva as equações paramétrica da circunferência $x^{2}+y^{2}-x+3 y-2=0$ .

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Escreva as equações paramétrica da circunferência .

Escreva as equações paramétrica da circunferência x2+y2−x+3y−2=0x^{2}+y^{2}-x+3 y-2=0x2+y2−x+3y−2=0.

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