(Espcex 2020 - E) Um poliedro convexo, com
13
vértices, tem uma face hexagonal e
18
faces formadas por polígonos do tipo
P.
Com
base nessas informações, pode-se concluir que
o polígono
P
é um
a) dodecágono. b) octógono. c) pentágono.
d) quadrilátero. e) triângulo.

Question

(Espcex 2020 - E) Um poliedro convexo, com 
13
vértices, tem uma face hexagonal e 
18
faces formadas por polígonos do tipo 
P.
Com 
base nessas informações, pode-se concluir que 
o polígono 
P
é um 
a) dodecágono. b) octógono. c) pentágono.
d) quadrilátero. e) triângulo.

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos utilizar a relação de Euler para poliedros convexos, que é dada por:

$$ V - A + F = 2 $$

onde $ V $ é o número de vértices, $ A $ é o número de arestas e $ F $ é o número de faces.

Sabemos que:
- O poliedro tem 13 vértices ($ V = 13 $).
- O poliedro tem uma face hexagonal e 18 faces formadas por polígonos do tipo $ P $. Portanto, o total de faces é $ F = 1 + 18 = 19 $.

Primeiro, vamos determinar o número total de arestas do poliedro. Para isso, precisamos contar as arestas de todas as faces.

Seja $ n $ o número de lados do polígono $ P $. Temos:
- Uma face hexagonal contribui com 6 arestas.
- As 18 faces do tipo $ P $ contribuem com $ 18n $ arestas.

No entanto, cada aresta é compartilhada entre duas faces, então devemos dividir o total por 2 para obter o número de arestas $ A $:

$$ A = \frac{6 + 18n}{2} $$

Agora, substituímos os valores na fórmula de Euler:

$$ 13 - A + 19 = 2 $$

Substituindo $ A $:

$$ 13 - \frac{6 + 18n}{2} + 19 = 2 $$

Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:

$$ 26 - (6 + 18n) + 38 = 4 $$

Simplificando:

$$ 64 - 6 - 18n = 4 $$

$$ 58 - 18n = 4 $$

Isolando $ n $:

$$ 18n = 54 $$

$$ n = 3 $$

Portanto, o polígono $ P $ é um triângulo.

**Resposta: e**

O polígono $ P $ é um triângulo porque, ao resolver a equação, encontramos $ n = 3 $, que corresponde a um triângulo.

(Espcex 2020 - E) Um poliedro convexo, com 13 vértices, t...

(Espcex 2020 - E) Um poliedro convexo, com 13 vértices, tem uma face hexagonal e 18 faces formadas por polígonos do tipo P. Com base nessas informações, pode-se concluir que o polígono P é um a) dodecágono. b) octógono. c) pentágono. d) quadrilátero. e) triângulo.

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