(ESPM-SP-2023) As raízes da equação x² - 3x - 5 = 0 são m e n. O valor da expressão 1/m² + 1/n² é igual a: A. 3/5 B. 17/25 C. 19/25 D. 1 E. 4/5

Para resolver a questão, precisamos encontrar as raízes $m$ e $n$ da equação quadrática $x^2 - 3x - 5 = 0$ e calcular a expressão $\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2}$.

Passo 1: Encontrar as raízes

A soma das raízes $m + n$ é igual ao coeficiente de $x$ com sinal trocado, ou seja, $3$. O produto das raízes $mn$ é igual ao termo constante, que é $-5$.

Passo 2: Calcular a expressão

Queremos encontrar:

$$\frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 + m^2}{m^2n^2}$$

Sabemos que:

$$(m+n)^2 = m^2 + n^2 + 2mn$$

Portanto:

$$m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn = 3^2 - 2(-5) = 9 + 10 = 19$$

E:

$$m^2n^2 = (mn)^2 = (-5)^2 = 25$$

Substituindo na expressão, temos:

$$\frac{n^2 + m^2}{m^2n^2} = \frac{19}{25}$$

Resposta: C

O valor da expressão é $\frac{19}{25}$.