Exemplo 1 – Calcule a integral da função f(x, y, y) = 1 sobre a região R = [0,1] × [0,2] × [0,3].

Exemplo 2 – Calcule ∭R xyzdxdydz, onde R = [2,3] × [1,2] × [0,1].

Question

Exemplo 1 – Calcule a integral da função f(x, y, y) = 1 sobre a região R = [0,1] × [0,2] × [0,3].

Exemplo 2 – Calcule ∭R xyzdxdydz, onde R = [2,3] × [1,2] × [0,1].

Accepted Answer

Para resolver as integrais triplas apresentadas, vamos calcular cada uma separadamente.

### Exemplo 1

Calcule a integral da função $ f(x, y, z) = 1 $ sobre a região $ R = [0,1] \times [0,2] \times [0,3] $.

A integral tripla será:

$$
\iiint_R 1 \, dx \, dy \, dz
$$

Como a função é constante e igual a 1, a integral se reduz ao cálculo do volume da região $ R $.

$$
= \int_0^1 \int_0^2 \int_0^3 1 \, dz \, dy \, dx
$$

Calculando cada integral:

1. Integral em relação a $ z $:

$$
\int_0^3 1 \, dz = [z]_0^3 = 3
$$

2. Integral em relação a $ y $:

$$
\int_0^2 3 \, dy = 3[y]_0^2 = 6
$$

3. Integral em relação a $ x $:

$$
\int_0^1 6 \, dx = 6[x]_0^1 = 6
$$

Portanto, a integral é igual a 6.

### Exemplo 2

Calcule $\iiint_R xyz \, dx \, dy \, dz$, onde $ R = [2,3] \times [1,2] \times [0,1] $.

$$
\int_2^3 \int_1^2 \int_0^1 xyz \, dz \, dy \, dx
$$

1. Integral em relação a $ z $:

$$
\int_0^1 xyz \, dz = xy \left[\frac{z^2}{2}\right]_0^1 = \frac{xy}{2}
$$

2. Integral em relação a $ y $:

$$
\int_1^2 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x}{2} \left[\frac{y^2}{2}\right]_1^2 = \frac{x}{2} \left(\frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right) = \frac{3x}{4}
$$

3. Integral em relação a $ x $:

$$
\int_2^3 \frac{3x}{4} \, dx = \frac{3}{4} \left[\frac{x^2}{2}\right]_2^3 = \frac{3}{4} \left(\frac{9}{2} - \frac{4}{2}\right) = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}
$$

Portanto, a integral é igual a $\frac{15}{8}$.