EXEMPLO 7

A posição $ \vec{r} $ de uma partícula que se move em um plano xy é dada por $ \vec{r} = (2,00t^3 - 5,00t)\hat{i} + (6,00 - 7,00t^4)\hat{j} $, com t em segundos e $ \vec{r} $ em metros. Na notação de vetores unitários, calcule
a) $ \vec{r} $, b) $ \vec{v} $ e c) $ \vec{a} $ para t = 2,00 s. d) Qual o ângulo entre o semieixo positivo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em t = 2,00 s?

Question

EXEMPLO 7

A posição $ \vec{r} $ de uma partícula que se move em um plano xy é dada por $ \vec{r} = (2,00t^3 - 5,00t)\hat{i} + (6,00 - 7,00t^4)\hat{j} $, com t em segundos e $ \vec{r} $ em metros. Na notação de vetores unitários, calcule
a) $ \vec{r} $, b) $ \vec{v} $ e c) $ \vec{a} $ para t = 2,00 s. d) Qual o ângulo entre o semieixo positivo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em t = 2,00 s?

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos calcular cada um dos itens solicitados:

### a) Posição $\vec{r}$ para $t = 2,00 \, s$

A função de posição é dada por:

$$
\vec{r}(t) = (2,00t^3 - 5,00t)\hat{i} + (6,00 - 7,00t^4)\hat{j}
$$

Substituindo $t = 2,00$:

$$
\vec{r}(2) = (2,00 \times (2)^3 - 5,00 \times 2)\hat{i} + (6,00 - 7,00 \times (2)^4)\hat{j}
$$

$$
= (16,00 - 10,00)\hat{i} + (6,00 - 112,00)\hat{j}
$$

$$
= 6,00\hat{i} - 106,00\hat{j}
$$

### b) Velocidade $\vec{v}$

A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:

$$
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \left(\frac{d}{dt}(2,00t^3 - 5,00t)\right)\hat{i} + \left(\frac{d}{dt}(6,00 - 7,00t^4)\right)\hat{j}
$$

$$
= (6,00t^2 - 5,00)\hat{i} + (-28,00t^3)\hat{j}
$$

Substituindo $t = 2,00$:

$$
\vec{v}(2) = (6,00 \times (2)^2 - 5,00)\hat{i} + (-28,00 \times (2)^3)\hat{j}
$$

$$
= (24,00 - 5,00)\hat{i} - 224,00\hat{j}
$$

$$
= 19,00\hat{i} - 224,00\hat{j}
$$

### c) Aceleração $\vec{a}$

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

$$
\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \left(\frac{d}{dt}(6,00t^2 - 5,00)\right)\hat{i} + \left(\frac{d}{dt}(-28,00t^3)\right)\hat{j}
$$

$$
= (12,00t)\hat{i} + (-84,00t^2)\hat{j}
$$

Substituindo $t = 2,00$:

$$
\vec{a}(2) = (12,00 \times 2)\hat{i} + (-84,00 \times (2)^2)\hat{j}
$$

$$
= 24,00\hat{i} - 336,00\hat{j}
$$

### d) Ângulo entre o semieixo positivo x e a reta tangente

A reta tangente à trajetória no ponto é dada pela direção do vetor velocidade $\vec{v}(2)$.

O ângulo $\theta$ entre o vetor $\vec{v}(2) = 19,00\hat{i} - 224,00\hat{j}$ e o eixo x é dado por:

$$
\tan(\theta) = \frac{\text{componente } y}{\text{componente } x} = \frac{-224,00}{19,00}
$$

Calculando $\theta$:

$$
\theta = \arctan\left(\frac{-224,00}{19,00}\right)
$$

Calcule $\theta$ usando uma calculadora para obter o valor numérico.