Exemplo Proposto -5

A engrenagem esta submetida a duas
forças causadas pelo contato com outras
engrenagens expresse cada força como um vetor
cartesiano e calcule a resultante das duas forças
com direção e sentido.

[FR{636,4i-310j + 520k} (N)]

F2 = 900 N
F1 = 250 N

60°
60°
135°
y
x
z
25
24.
7

Sistemas Estruturais Isostáticos - Prof. Dr. Fábio Goedel
12

Question

Exemplo Proposto -5

A engrenagem esta submetida a duas
forças causadas pelo contato com outras
engrenagens expresse cada força como um vetor
cartesiano e calcule a resultante das duas forças
com direção e sentido.

[FR{636,4i-310j + 520k} (N)]

F2 = 900 N
F1 = 250 N

60°
60°
135°
y
x
z
25
24.
7

Sistemas Estruturais Isostáticos - Prof. Dr. Fábio Goedel
12

Accepted Answer

Aqui está a solução do problema apresentado:

Primeiro, vamos decompor as forças $\vec{F_1}$ e $\vec{F_2}$ em suas componentes cartesianas.

Para $\vec{F_1}$:
O ângulo dado é de 135° em relação ao eixo x. Portanto, o ângulo em relação ao eixo -x é 180° - 135° = 45°.
Como a força está no plano x-y, a componente z é zero.
$$F_{1x} = -250 \cdot \cos(45^\circ) = -250 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx -176.78 	ext{ N}$$
$$F_{1y} = -250 \cdot \sin(45^\circ) = -250 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx -176.78 	ext{ N}$$
$$F_{1z} = 0 	ext{ N}$$
Portanto, $\vec{F_1} = -176.78\hat{i} - 176.78\hat{j} + 0\hat{k}$ N

Para $\vec{F_2}$:
O ângulo dado é de 60° em relação ao eixo y. Portanto, o ângulo em relação ao eixo x é 90° - 60° = 30°.
Como a força está no plano x-y, a componente z é zero.
$$F_{2x} = -900 \cdot \sin(60^\circ) = -900 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -779.42 	ext{ N}$$
$$F_{2y} = 900 \cdot \cos(60^\circ) = 900 \cdot \frac{1}{2} = 450 	ext{ N}$$
$$F_{2z} = 0 	ext{ N}$$
Portanto, $\vec{F_2} = -779.42\hat{i} + 450\hat{j} + 0\hat{k}$ N

Agora, vamos calcular a força resultante $\vec{F_R}$ somando as componentes de $\vec{F_1}$ e $\vec{F_2}$:
$$F_{Rx} = F_{1x} + F_{2x} = -176.78 - 779.42 = -956.2 	ext{ N}$$
$$F_{Ry} = F_{1y} + F_{2y} = -176.78 + 450 = 273.22 	ext{ N}$$
$$F_{Rz} = F_{1z} + F_{2z} = 0 + 0 = 0 	ext{ N}$$
Portanto, $\vec{F_R} = -956.2\hat{i} + 273.22\hat{j} + 0\hat{k}$ N

O módulo da força resultante é:
$$|\vec{F_R}| = \sqrt{(-956.2)^2 + (273.22)^2 + 0^2} \approx \sqrt{914218.44 + 74649.21} \approx \sqrt{988867.65} \approx 994.42 	ext{ N}$$

O ângulo $	heta$ em relação ao eixo x é:
$$	heta = \arctan\left(\frac{F_{Ry}}{F_{Rx}}ight) = \arctan\left(\frac{273.22}{-956.2}ight) \approx -15.96^\circ$$
Como $F_{Rx}$ é negativo e $F_{Ry}$ é positivo, o ângulo está no segundo quadrante. Portanto, adicionamos 180°:
$$	heta = -15.96^\circ + 180^\circ \approx 164.04^\circ$$

A força resultante é aproximadamente $\vec{F_R} = -956.2\hat{i} + 273.22\hat{j}$ N, com um módulo de 994.42 N e um ângulo de 164.04° em relação ao eixo x positivo.

Comparando com a resposta fornecida na imagem:
$[F_R\{636.4i - 310j + 520k\} (N)]$
Parece haver uma discrepância significativa entre a solução calculada e a resposta fornecida na imagem. A resposta na imagem tem componentes i, j e k, enquanto o problema parece ser bidimensional (no plano x-y). Além disso, os valores das componentes i e j são diferentes.

Sem mais informações ou contexto sobre o problema, não posso determinar a causa da discrepância.

Perguntas relacionadas