Exercício 1: A figura ao lado, mostra um navio pirata a 560 m de um forte que protege a entrada de um porto. Um canhão de defesa, situado ao nível do mar, dispara balas com uma velocidade inicial igual a 82 m/s. (a) Com que ângulo θ em relação à horizontal as balas devem ser disparadas para acertar o navio? (b) Qual é o alcance máximo das balas de canhão?

Para resolver o exercício, vamos usar as equações do movimento de projéteis.

(a) Ângulo θ para acertar o navio

A fórmula para o alcance $R$ de um projétil é:

$$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$

Onde:

• $v_0 = 82 \, \text{m/s}$ é a velocidade inicial.
• $g = 9,8 \, \text{m/s}^2$ é a aceleração devido à gravidade.
• $R = 560 \, \text{m}$ é a distância até o navio.

Substituindo os valores:

$$560 = \frac{82^2 \sin(2\theta)}{9,8}$$

Resolvendo para $\sin(2\theta)$:

$$560 \times 9,8 = 82^2 \sin(2\theta)$$ $$\sin(2\theta) = \frac{560 \times 9,8}{82^2}$$

Calculando:

$$\sin(2\theta) \approx 0,813$$

Agora, encontramos $2\theta$:

$$2\theta = \arcsin(0,813)$$ $$2\theta \approx 54,1^\circ$$

Portanto, o ângulo $\theta$ é:

$$\theta \approx 27,05^\circ$$

(b) Alcance máximo das balas de canhão

O alcance máximo ocorre quando $\theta = 45^\circ$. Usando a fórmula do alcance:

$$R_{\text{máx}} = \frac{v_0^2}{g}$$

Substituindo os valores:

$$R_{\text{máx}} = \frac{82^2}{9,8}$$

Calculando:

$$R_{\text{máx}} \approx 686,53 \, \text{m}$$

Portanto, o alcance máximo das balas de canhão é aproximadamente 686,53 metros.