• Exercício 12: A Figura 23-32 mostra duas cascas esféricas não condutoras mantidas fixas no lugar. A casca 1 possui uma densidade superficial de cargas uniforme σ1 na superfície externa e raio R1. A casca 2 possui uma densidade superficial de cargas uniforme σ2 na superfície externa e raio R2. Os centros das cascas estão separados por uma distância L. Qual é o campo elétrico no ponto x?

Resposta:
$$ \vec{E} = -\frac{\sigma_2(R_2)^2}{(L - x)^2 \epsilon_0} $$

Question

• Exercício 12: A Figura 23-32 mostra duas cascas esféricas não condutoras mantidas fixas no lugar. A casca 1 possui uma densidade superficial de cargas uniforme σ1 na superfície externa e raio R1. A casca 2 possui uma densidade superficial de cargas uniforme σ2 na superfície externa e raio R2. Os centros das cascas estão separados por uma distância L. Qual é o campo elétrico no ponto x?

Resposta:

\vec{E} = -\frac{\sigma_2(R_2)^2}{(L - x)^2 \epsilon_0}

Resposta:
$$ \vec{E} = -\frac{\sigma_2(R_2)^2}{(L - x)^2 \epsilon_0} $$

Accepted Answer

Para resolver o problema de encontrar o campo elétrico no ponto $ x $, precisamos considerar a contribuição das duas cascas esféricas.

### Passos para a Solução:

1. **Campo Elétrico de uma Casca Esférica Uniformemente Carregada:**
   - Para uma casca esférica com densidade superficial de carga $\sigma$ e raio $R$, o campo elétrico fora da casca (a uma distância $r$ do centro, onde $r > R$) é dado por:
   $$
   E = \frac{\sigma R^2}{\varepsilon_0 r^2}
   $$

2. **Contribuição da Casca 1:**
   - A casca 1 tem densidade superficial $\sigma_1$ e raio $R_1$.
   - O ponto $x$ está dentro da casca 1 ($x < R_1$), então a contribuição da casca 1 para o campo elétrico no ponto $x$ é zero devido à simetria esférica.

3. **Contribuição da Casca 2:**
   - A casca 2 tem densidade superficial $\sigma_2$ e raio $R_2$.
   - A distância do ponto $x$ ao centro da casca 2 é $L - x$.
   - O campo elétrico devido à casca 2 no ponto $x$ é:
   $$
   E_2 = \frac{\sigma_2 R_2^2}{\varepsilon_0 (L - x)^2}
   $$

4. **Direção do Campo Elétrico:**
   - O campo elétrico devido à casca 2 no ponto $x$ aponta na direção negativa do eixo $x$ (para a esquerda), pois as cargas são positivas e o ponto $x$ está à esquerda da casca 2.

5. **Resultado Final:**
   - Portanto, o campo elétrico total no ponto $x$ é dado por:
   $$
   \vec{E} = -\frac{\sigma_2 R_2^2}{(L - x)^2 \varepsilon_0}
   $$

Este é o resultado apresentado na resposta do exercício.

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