Exercício 3 - Seja a condução unidimensional em uma parede plana composta. Suas superfícies
externas estão expostas a um fluido a 25°C com um coeficiente convectivo de 1000 W/(m².K). Na
parede intermediária B há geração uniforme de calor a uma taxa $\dot{q}_{B}$ enquanto não existe geração nas
paredes A e C. As temperaturas nas interfaces são $T_{1}$ = 261°C e $T_{2}$ = 211°C.
Determine a taxa volumétrica de geração de calor $\dot{q}_{B}$. ($\dot{q}_{B}$ = 4 $\frac{MW}{m^{3}}$)

$L_{A}$ = 30 mm
$L_{B}$ = 30 mm
$L_{C}$ = 20 mm
$k_{A}$ = 25 W/m-K
$k_{C}$ = 50 W/m-K

$T_{1}$ = 261 °C
$T_{2}$ = 211 °C

$T_{\infty}$ = 25 °C
$h$ = 1000 W/m²-K

Question

Exercício 3 - Seja a condução unidimensional em uma parede plana composta. Suas superfícies
externas estão expostas a um fluido a 25°C com um coeficiente convectivo de 1000 W/(m².K). Na
parede intermediária B há geração uniforme de calor a uma taxa $\dot{q}_{B}$ enquanto não existe geração nas
paredes A e C. As temperaturas nas interfaces são $T_{1}$ = 261°C e $T_{2}$ = 211°C.
Determine a taxa volumétrica de geração de calor $\dot{q}_{B}$. ($\dot{q}_{B}$ = 4 $\frac{MW}{m^{3}}$)

$L_{A}$ = 30 mm
$L_{B}$ = 30 mm
$L_{C}$ = 20 mm
$k_{A}$ = 25 W/m-K
$k_{C}$ = 50 W/m-K

$T_{1}$ = 261 °C
$T_{2}$ = 211 °C

$T_{\infty}$ = 25 °C
$h$ = 1000 W/m²-K

Accepted Answer

Aqui está a solução para determinar a taxa volumétrica de geração de calor $\dot{q}_B$:

1. **Análise da Parede Composta:**

A parede composta é formada por três camadas: A, B e C. A camada B possui geração de calor uniforme $\dot{q}_B$, enquanto as camadas A e C não possuem geração de calor. As temperaturas nas interfaces entre as camadas são dadas como $T_1 = 261^\circ C$ e $T_2 = 211^\circ C$.

2. **Cálculo do Fluxo de Calor através da Camada C:**

O fluxo de calor através da camada C pode ser calculado usando a lei de Fourier:

$q''_2 = -k_C \frac{dT}{dx} = k_C \frac{T_2 - T_{\infty}}{L_C}$

Onde:
   - $k_C = 50 \, 	ext{W/m.K}$ (condutividade térmica da camada C)
   - $T_2 = 211^\circ C$ (temperatura na interface entre B e C)
   - $T_{\infty} = 25^\circ C$ (temperatura do fluido)
   - $L_C = 20 \, 	ext{mm} = 0.02 \, 	ext{m}$ (espessura da camada C)

Substituindo os valores:

$q''_2 = 50 \, 	ext{W/m.K} 	imes \frac{211^\circ C - 25^\circ C}{0.02 \, 	ext{m}} = 50 	imes \frac{186}{0.02} = 465000 \, 	ext{W/m}^2 = 465 \, 	ext{kW/m}^2$

3. **Balanço de Energia na Camada B:**

A taxa de calor gerada na camada B deve ser igual à soma dos fluxos de calor que saem da camada B através das interfaces 1 e 2:

$\dot{E}_g = q''_1 + q''_2$
   $\dot{q}_B 	imes 2L_B = q''_1 + q''_2$

Onde:
   - $\dot{q}_B$ é a taxa volumétrica de geração de calor na camada B.
   - $2L_B = 60 \, 	ext{mm} = 0.06 \, 	ext{m}$ (espessura da camada B)

4. **Cálculo do Fluxo de Calor através da Camada A:**

O fluxo de calor através da camada A pode ser calculado usando a lei de Fourier:

$q''_1 = k_A \frac{T_1 - T_{\infty,1}}{L_A}$

Onde:
   - $k_A = 25 \, 	ext{W/m.K}$ (condutividade térmica da camada A)
   - $T_1 = 261^\circ C$ (temperatura na interface entre A e B)
   - $L_A = 30 \, 	ext{mm} = 0.03 \, 	ext{m}$ (espessura da camada A)
   - $T_{\infty,1}$ pode ser calculado usando a resistência de convecção na superfície externa da camada A:

$q''_1 = h(T_{s,A} - T_{\infty})$

Onde:
   - $h = 1000 \, 	ext{W/m}^2	ext{.K}$ (coeficiente de convecção)
   - $T_{s,A}$ é a temperatura da superfície da camada A.

Usando a resistência térmica total da camada A e a convecção:

$q''_1 = \frac{T_1 - T_{\infty}}{R_{tot}}$
   $R_{tot} = \frac{L_A}{k_A} + \frac{1}{h} = \frac{0.03}{25} + \frac{1}{1000} = 0.0012 + 0.001 = 0.0022 \, 	ext{m}^2	ext{.K/W}$

$q''_1 = \frac{261 - 25}{0.0022} = \frac{236}{0.0022} = 107272.73 \, 	ext{W/m}^2 = 107.27 \, 	ext{kW/m}^2$

5. **Determinação da Taxa Volumétrica de Geração de Calor $\dot{q}_B$:**

Substituindo os valores na equação do balanço de energia:

$\dot{q}_B 	imes 2L_B = q''_1 + q''_2$
   $\dot{q}_B 	imes 0.06 = 107272.73 + 465000$
   $\dot{q}_B 	imes 0.06 = 572272.73$
   $\dot{q}_B = \frac{572272.73}{0.06} = 9537878.83 \, 	ext{W/m}^3 = 9.54 \, 	ext{MW/m}^3$

Portanto, a taxa volumétrica de geração de calor $\dot{q}_B$ é aproximadamente $9.54 \, 	ext{MW/m}^3$.

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