Exercícios
ATIVIDADE
27. EM DUPLA Determinem a equação da reta que satisfaz
às seguintes condições:
a) A declividade é 4 e passa pelo ponto A(2, -3).
b) A inclinação é de 45° e passa pelo ponto P(4, 1).
c) Passa pelo ponto M(-2, -5) e tem coeficiente
angular 0.
d) Passa pelos pontos A(3, 1) e B(-5, 4).
e) Passa pelo ponto P(-3, -4) e é paralela ao eixo y.
f) Tem coeficiente angular $-\frac{1}{2}$ e passa pelo ponto
A(2, -3).
g) Passa pelo ponto P(1, -7) e é paralela ao eixo x.
h) Passa pelos pontos A(1, 1) e B(-2, -2).
i) A inclinação é de 150° e passa pela origem.
28. ATIVIDADE EM DUPLA Verifiquem se o ponto P(2, 3) pertence à reta r
que passa pelos pontos A(1, 1) e B(0, -3).
DESAFIO
29. EM DUPLA (Fuvest-SP) Determinem a equação da reta
que passa pelo ponto P(2, 3) e pelo ponto Q, simétrico
de P em relação à origem.
30.Em cada caso, escreva uma equação geral da reta
definida pelos pontos A e B:
a) A(-1, 6) e B(2, -3)
b) A(-1, 8) e B(-5, -1)
c) A(5, 0) e B(-1,-4)
d) A(3, 3) e B(1, -5)
31. Uma reta passa pelo ponto P(-1,-5) e tem coeficiente
angular $m = \frac{1}{2}$. Escreva a equação da reta na forma
reduzida.
32. Passe a equação da reta para a forma indicada:
a) $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1$ para a forma reduzida;
b) $y - 6 = \frac{1}{2}(x + 4)$ para a forma geral;
c) $3x + 9y - 36 = 0$ para a forma segmentária;
d) $\begin{cases} x = 3 - t \ y = t + 2 \end{cases}$ para a forma geral.
33. As equações paramétricas de uma reta r são
$\begin{cases} x = 5 + 2t \ y = 7 - t \end{cases}$. Obtenha a equação reduzida dessa reta.
34. Escreva na forma reduzida a equação da reta que pas-
sa pelos pontos $P_1(2, 7)$ e $P_2(-1, -5)$.
35. Escreva a equação:
a) da reta bissetriz dos quadrantes ímpares;
b) da reta bissetriz dos quadrantes pares;
c) do eixo x;
d) do eixo y.
36. Dada a reta que tem a equação $3x + 4y = 7$, determi-
ne seu coeficiente angular.
37. Determine a equação da reta de coeficiente angular
$m = -2$ e que intersecta o eixo y no ponto A(0, -3).
ATIVIDADE
38. EM DUPLA Se os pontos A(3, 5) e B(-3, 8) determinam
uma reta, calculem o valor de $a$ para que o ponto C(4, $a$)
pertença a essa reta.
39. ATIVIDADE
EM DUPLA Na figura dada, $ABCD$ é um paralelogramo.
Determinem uma equação geral da reta-suporte de
cada diagonal, $AC$ e $BD$.
ATIVIDADE
40. EM DUPLA Sabendo que o ponto P(2, 1) pertence à reta
de equação $3kx + (k - 3)y = 4$, determinem o valor de
$k$ e escrevam uma forma geral da equação dessa reta.
41. ATIVIDADE
EM DUPLA Se um triângulo tem como vértices os pontos
A(2, 3), B(4, 1) e C(6, 7), determinem uma equação geral
da reta-suporte da mediana relativa ao lado BC.
42. ATIVIDADE
EM DUPLA Na figura dada, o ponto O é a origem do siste-
ma de coordenadas ortogonais e OABC é um quadrado
de lado 4. Sabendo que M é o ponto médio de $\overline{OA}$ e Né
o ponto médio de $\overline{OC}$, escrevam a equação da reta que
passa por C e Me a equação da reta que passa por A e N.
10. Determine as coordenadas do ponto $P$ de intersecção das retas $r$ e $s$, de equações $3x + 2y - 7 = 0$ e
$x - 2y - 9 = 0$, respectivamente.
Resolução:
Nosso problema consiste em resolver o sistema formado pelas equações das duas retas:
$\begin{cases} 3x + 2y - 7 = 0 \ x - 2y - 9 = 0 \end{cases}$
$4x - 16 = 0 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = 4$
Substituindo na segunda equação, por exemplo, temos:
$4 - 2y - 9 = 0 \Rightarrow -2y = 5 \Rightarrow 2y = -5 \Rightarrow y = -\frac{5}{2}$
Logo, as coordenadas do ponto de intersecção são 4 e $-\frac{5}{2}$. Ou seja, $P(4, -\frac{5}{2})$

Question

Accepted Answer

Aqui estão as soluções para os problemas propostos:

**27.**

a) A equação da reta com declividade $m = 4$ que passa pelo ponto $A(2, -3)$ é dada por:
   $y - y_1 = m(x - x_1)$
   $y - (-3) = 4(x - 2)$
   $y + 3 = 4x - 8$
   $y = 4x - 11$

b) A inclinação de $45^\circ$ corresponde a uma declividade de $m = 	an(45^\circ) = 1$. A equação da reta que passa pelo ponto $P(4, 1)$ é:
   $y - 1 = 1(x - 4)$
   $y = x - 3$

c) Coeficiente angular $m = 0$, passa por $M(-2, -5)$:
   $y - (-5) = 0(x - (-2))$
   $y + 5 = 0$
   $y = -5$

d) Passa pelos pontos $A(3, 1)$ e $B(-5, 4)$. Primeiro, calculamos a declividade:
   $m = \frac{4 - 1}{-5 - 3} = \frac{3}{-8} = -\frac{3}{8}$
   Usando o ponto $A(3, 1)$:
   $y - 1 = -\frac{3}{8}(x - 3)$
   $8(y - 1) = -3(x - 3)$
   $8y - 8 = -3x + 9$
   $3x + 8y - 17 = 0$

e) Passa pelo ponto $P(-3, -4)$ e é paralela ao eixo $y$. Portanto, é uma reta vertical:
   $x = -3$

f) Coeficiente angular $m = -\frac{1}{2}$ e passa pelo ponto $A(2, -3)$:
   $y - (-3) = -\frac{1}{2}(x - 2)$
   $y + 3 = -\frac{1}{2}x + 1$
   $y = -\frac{1}{2}x - 2$

g) Passa pelo ponto $P(1, -7)$ e é paralela ao eixo $x$. Portanto, é uma reta horizontal:
   $y = -7$

h) Passa pelos pontos $A(1, 1)$ e $B(-2, -2)$. Primeiro, calculamos a declividade:
   $m = \frac{-2 - 1}{-2 - 1} = \frac{-3}{-3} = 1$
   Usando o ponto $A(1, 1)$:
   $y - 1 = 1(x - 1)$
   $y = x$

i) Inclinação de $150^\circ$ e passa pela origem. A declividade é $m = 	an(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
   $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x$

**28.**
Para verificar se o ponto $P(2, 3)$ pertence à reta $r$ que passa pelos pontos $A(1, 1)$ e $B(0, -3)$, primeiro encontramos a equação da reta $r$.
A declividade da reta $r$ é:
$m = \frac{-3 - 1}{0 - 1} = \frac{-4}{-1} = 4$
Usando o ponto $A(1, 1)$, a equação da reta é:
$y - 1 = 4(x - 1)$
$y - 1 = 4x - 4$
$y = 4x - 3$
Agora, verificamos se o ponto $P(2, 3)$ satisfaz a equação:
$3 = 4(2) - 3$
$3 = 8 - 3$
$3 = 5$
Como a igualdade não é verdadeira, o ponto $P(2, 3)$ não pertence à reta $r$.

**29.**
O ponto $Q$, simétrico de $P(2, 3)$ em relação à origem, é $Q(-2, -3)$. A equação da reta que passa por $P(2, 3)$ e $Q(-2, -3)$ é:
$m = \frac{-3 - 3}{-2 - 2} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}$
Usando o ponto $P(2, 3)$:
$y - 3 = \frac{3}{2}(x - 2)$
$2(y - 3) = 3(x - 2)$
$2y - 6 = 3x - 6$
$2y = 3x$
$3x - 2y = 0$

**30.**
a) $A(-1, 6)$ e $B(2, -3)$
$m = \frac{-3 - 6}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3$
$y - 6 = -3(x + 1)$
$y - 6 = -3x - 3$
$3x + y - 3 = 0$

b) $A(-1, 8)$ e $B(-5, -1)$
$m = \frac{-1 - 8}{-5 - (-1)} = \frac{-9}{-4} = \frac{9}{4}$
$y - 8 = \frac{9}{4}(x + 1)$
$4(y - 8) = 9(x + 1)$
$4y - 32 = 9x + 9$
$9x - 4y + 41 = 0$

c) $A(5, 0)$ e $B(-1, -4)$
$m = \frac{-4 - 0}{-1 - 5} = \frac{-4}{-6} = \frac{2}{3}$
$y - 0 = \frac{2}{3}(x - 5)$
$3y = 2x - 10$
$2x - 3y - 10 = 0$

d) $A(3, 3)$ e $B(1, -5)$
$m = \frac{-5 - 3}{1 - 3} = \frac{-8}{-2} = 4$
$y - 3 = 4(x - 3)$
$y - 3 = 4x - 12$
$4x - y - 9 = 0$

**31.**
$P(-1, -5)$, $m = \frac{1}{2}$
$y - (-5) = \frac{1}{2}(x - (-1))$
$y + 5 = \frac{1}{2}(x + 1)$
$2y + 10 = x + 1$
$2y = x - 9$
$y = \frac{1}{2}x - \frac{9}{2}$

**32.**
a) $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1$
$3x + 2y = 6$
$2y = -3x + 6$
$y = -\frac{3}{2}x + 3$

b) $y - 6 = \frac{1}{2}(x + 4)$
$2y - 12 = x + 4$
$x - 2y + 16 = 0$

c) $3x + 9y - 36 = 0$
$3x + 9y = 36$
$\frac{3x}{36} + \frac{9y}{36} = 1$
$\frac{x}{12} + \frac{y}{4} = 1$

d)
$x = 3 - t$
$y = t + 2$
$t = 3 - x$
$y = (3 - x) + 2$
$y = 5 - x$
$x + y - 5 = 0$

**33.**
$x = 5 + 2t$
$y = 7 - t$
$t = 7 - y$
$x = 5 + 2(7 - y)$
$x = 5 + 14 - 2y$
$x = 19 - 2y$
$2y = -x + 19$
$y = -\frac{1}{2}x + \frac{19}{2}$

**34.**
$P_1(2, 7)$ e $P_2(-1, -5)$
$m = \frac{-5 - 7}{-1 - 2} = \frac{-12}{-3} = 4$
$y - 7 = 4(x - 2)$
$y - 7 = 4x - 8$
$y = 4x - 1$

**35.**
a) $y = x$
b) $y = -x$
c) $y = 0$
d) $x = 0$

**36.**
$3x + 4y = 7$
$4y = -3x + 7$
$y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$
$m = -\frac{3}{4}$

**37.**
$m = -2$, $A(0, -3)$
$y - (-3) = -2(x - 0)$
$y + 3 = -2x$
$y = -2x - 3$

**38.**
$A(3, 5)$ e $B(-3, 8)$
$m = \frac{8 - 5}{-3 - 3} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$
$y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 3)$
$2y - 10 = -x + 3$
$x + 2y - 13 = 0$
$C(4, a)$ pertence à reta:
$4 + 2a - 13 = 0$
$2a = 9$
$a = \frac{9}{2}$

**39.**
Não é possível resolver sem a figura.

**40.**
$P(2, 1)$ pertence a $3kx + (k - 3)y = 4$
$3k(2) + (k - 3)(1) = 4$
$6k + k - 3 = 4$
$7k = 7$
$k = 1$
$3(1)x + (1 - 3)y = 4$
$3x - 2y = 4$
$3x - 2y - 4 = 0$

**41.**
Não é possível resolver sem a figura.

**42.**
Não é possível resolver sem a figura.