Exercícios resolvidos
1. Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, II litros por $ 100 \mathrm{~km} $, com desvio padrão de 0,8 litro. Uma revista decide testar essa afirmação e analisa 35 carros dessa marca, obtendo 11,4 litros por $ 100 \mathrm{~km} $, como consumo médio. Admitindo que o consumo tenha distribuição normal, ao nível de $ 10 \% $, o que a revista concluirá sobre o anúncio da fábrica?

Question

Accepted Answer

Para resolver esse exercício, podemos utilizar o teste Z para uma média, pois temos o desvio padrão da população e estamos assumindo que a distribuição do consumo é normal. O objetivo é verificar se a diferença entre o consumo médio anunciado pela fábrica ($ \mu_0 = 11 $ litros por $ 100 $ km) e o consumo médio encontrado pela revista ($ \bar{x} = 11,4 $ litros por $ 100 $ km) é significativa ao nível de $ 10\% $.

### Passo a passo

1. **Definir as hipóteses:**

- Hipótese nula ($ H_0 $): $ \mu = \mu_0 = 11 $
- Hipótese alternativa ($ H_a $): $ \mu \neq \mu_0 $

2. **Nível de significância:**

- $ \alpha = 10\% = 0,10 $

3. **Calcular a estatística de teste:**

Utilizamos a fórmula do teste Z para uma média:

$$ Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} $$

onde:
- $ \bar{x} = 11,4 $ é a média amostral;
- $ \mu_0 = 11 $ é a média da população sob $ H_0 $;
- $ \sigma = 0,8 $ é o desvio padrão da população;
- $ n = 35 $ é o tamanho da amostra.

Substituindo os valores na fórmula:

$$ Z = \frac{11,4 - 11}{0,8 / \sqrt{35}} $$

$$ Z = \frac{0,4}{0,8 / \sqrt{35}} $$

$$ Z = \frac{0,4}{0,1353} $$ (com $ \sqrt{35} \approx 5,916 $)

$$ Z \approx 2,96 $$

4. **Determinar o valor crítico ou p-valor:**

Para um teste de duas caudas com $ \alpha = 10\% $, o nível de significância em cada cauda é $ 5\% $. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos os valores críticos para $ \pm Z_{0,05} $, que são aproximadamente $ \pm 1,645 $.

5. **Conclusão:**

Como $ |Z| = 2,96 > 1,645 $, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que, ao nível de $ 10\% $ de significância, há evidências suficientes para afirmar que o consumo médio dos carros é diferente de 11 litros por $ 100 $ km, contradizendo o anúncio da fábrica.

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