Existem várias funções matemáticas que não podem ser integradas a partir de uma regra direta. No entanto, ainda assim, há diversos métodos integrativos que nos permitem usar recursos matemáticos para simplificar a expressão e, com isso, determinar a função primitiva com base em regras conhecidas. Um desses métodos é chamado de substituição trigonométrica.
Nesse contexto, considerando a integral $ \int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}} d x^{\prime} $ assinale a alternativa a seguir que indica sua resolução.

Q: Existem várias funções matemáticas que não podem ser integradas a partir de uma regra direta. No entanto, ainda assim, há diversos métodos integrativos que nos permitem usar recursos matemáticos para simplificar a expressão e, com isso, determinar a função primitiva com base em regras conhecidas. Um desses métodos é chamado de substituição trigonométrica. Nesse contexto, considerando a integral $ \int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}} d x^{\prime} $ assinale a alternativa a seguir que indica sua resolução.

Para resolver a integral $ \int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}} \, dx $ usando substituição trigonométrica, podemos utilizar a substituição $ x = 3 \sin(\theta) $. Vamos seguir os passos detalhados: 1. **Substituição:** \[ x = 3 \sin(\theta) \implies dx = 3 \cos(\theta) \, d\theta \] 2. **Simplificação do integrando:** \[ \sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9 - (3 \sin(\theta))^2} = \sqrt{9 - 9 \sin^2(\theta)} = \sqrt{9(1 - \sin^2(\theta))} = 3 \cos(\theta) \] 3. **Substituindo na integral:** \[ \int \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x^2} \, dx = \int \frac{3 \cos(\theta)}{(3 \sin(\theta))^2} \cdot 3 \cos(\theta) \, d\theta \] Simplificando: \[ = \int \frac{3 \cos(\theta) \cdot 3 \cos(\theta)}{9 \sin^2(\theta)} \, d\theta = \int \frac{9 \cos^2(\theta)}{9 \sin^2(\theta)} \, d\theta = \int \frac{\cos^2(\theta)}{\sin^2(\theta)} \, d\theta \] \[ = \int \cot^2(\theta) \, d\theta \] 4. **Integral de $\cot^2(\theta)$:** Sabemos que: \[ \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta) - 1 \] Portanto: \[ \int \cot^2(\theta) \, d\theta = \int (\csc^2(\theta) - 1) \, d\theta \] Integrando: \[ = \int \csc^2(\theta) \, d\theta - \int 1 \, d\theta \] \[ = -\cot(\theta) - \theta + C \] 5. **Voltando à variável original:** Relembrando que $ x = 3 \sin(\theta) $, temos: \[ \sin(\theta) = \frac{x}{3} \implies \theta = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) \] E também: \[ \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} = \frac{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}}{\sin(\theta)} = \frac{\sqrt{1 - \left(\frac{x}{3}\right)^2}}{\frac{x}{3}} = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x} \] Assim, substituindo de volta: \[ -\cot(\theta) - \theta + C = -\frac{\sqrt{9 - x^2}}{x} - \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C \] Portanto, a resposta correta é: \[ \boxed{-\frac{\sqrt{9 - x^2}}{x} - \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C} \]

Question

Accepted Answer

Para resolver a integral $ \int \frac{\sqrt{9-x^{2}}}{x^{2}} \, dx $ usando substituição trigonométrica, podemos utilizar a substituição $ x = 3 \sin(\theta) $. Vamos seguir os passos detalhados:

1. **Substituição:**
   $$
   x = 3 \sin(\theta) \implies dx = 3 \cos(\theta) \, d\theta
   $$

2. **Simplificação do integrando:**
   $$
   \sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9 - (3 \sin(\theta))^2} = \sqrt{9 - 9 \sin^2(\theta)} = \sqrt{9(1 - \sin^2(\theta))} = 3 \cos(\theta)
   $$

3. **Substituindo na integral:**
   $$
   \int \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x^2} \, dx = \int \frac{3 \cos(\theta)}{(3 \sin(\theta))^2} \cdot 3 \cos(\theta) \, d\theta
   $$
   Simplificando:
   $$
   = \int \frac{3 \cos(\theta) \cdot 3 \cos(\theta)}{9 \sin^2(\theta)} \, d\theta = \int \frac{9 \cos^2(\theta)}{9 \sin^2(\theta)} \, d\theta = \int \frac{\cos^2(\theta)}{\sin^2(\theta)} \, d\theta
   $$
   $$
   = \int \cot^2(\theta) \, d\theta
   $$

4. **Integral de $\cot^2(\theta)$:**
   Sabemos que:
   $$
   \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta) - 1
   $$
   Portanto:
   $$
   \int \cot^2(\theta) \, d\theta = \int (\csc^2(\theta) - 1) \, d\theta
   $$
   Integrando:
   $$
   = \int \csc^2(\theta) \, d\theta - \int 1 \, d\theta
   $$
   $$
   = -\cot(\theta) - \theta + C
   $$

5. **Voltando à variável original:**
   Relembrando que $ x = 3 \sin(\theta) $, temos:
   $$
   \sin(\theta) = \frac{x}{3} \implies \theta = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right)
   $$
   E também:
   $$
   \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} = \frac{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}}{\sin(\theta)} = \frac{\sqrt{1 - \left(\frac{x}{3}\right)^2}}{\frac{x}{3}} = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x}
   $$
   Assim, substituindo de volta:
   $$
   -\cot(\theta) - \theta + C = -\frac{\sqrt{9 - x^2}}{x} - \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C
   $$

Portanto, a resposta correta é:

$$
\boxed{-\frac{\sqrt{9 - x^2}}{x} - \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C}
$$